La résolution en calcul propositionnel

Résolution
Méthode par réfutation :

∆ |= A ssi A s'obtient à partir de ∆ par résolution ∆ |= A ssi ∆ ∪ {¬A} insatisfaisable i ∆ ∪ {¬A} est réfutable

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Forme Normale Conjonctive (DNC) Dénition :
 Un littéral est une formule de la forme p ou ¬p, où p est une lettre propositionnelle quelconque.  Une clause est une formule de la forme l1 ∨ . . . ∨ ln , n ≥ 0, où chaque li est un littéral. La clause vide (n = 0) s'écrit ⊥.  Une formule est en forme normal conjonctive ssi elle est de la forme D1 ∧ . . . ∧ Dn , n ≥ 0, où chaque Di est une clause.

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Forme Normale Disjonctive (FND) Dénition :
 Une conjonction élémentaire est une formule de la forme l1 ∧ . . . ∧ ln , n ≥ 0, où chaque li est un littéral.La conjonction élémentaire vide (n = 0) s'écrit .  Une formule est en forme normal disjonctive ssi elle est de la forme C1 ∨ . . . ∨ Cn , n ≥ 0, où chaque Ci est une conjonction élémentaire.

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Existence de la FND et de la FNC Théorème : Soit A une formule.
 Il existe une formule A1 en FND telle que A1 ≡ A.  Il existe une formule A2 en FNC telle que A2 ≡ A.

Lemme : Soit ∆ = {A1 , . . . , An } et F N C∆ = {E1 , . . . , En } où chaque Ei est une FNC de Ai . Pour chaque Ei de la forme Di1 ∧ . . . ∧ Dik on construit CEi = {Di1 , . . . , Dik }. Soit C∆ = 1≤i≤n CEi . Alors ∆ est satisfaisable ssi C∆ est satisfaisable.
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Formes normales et tables de vérité p q r A A≡ (p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (p ∧ ¬q ∧ r)∨ (¬p ∧ q ∧ r) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ ¬r) ¬A ≡ (p ∧ q ∧ r) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r)∨ (¬p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ r) A≡ (¬p ∨ ¬q ∨ ¬r) ∧ (¬p ∨ q ∨ r)∧ (p ∨ ¬q ∨ r) ∧ (p ∨ q ∨ ¬r)

V V V F V V F V F V F F F F F F V F F V V V

V V V V F F F F V F

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Règles de la résolution
Axiomes : aucun Règles d'inférence : (D et C sont deux clauses)

D∨p

C ∨ ¬p

D∨C

(coupure)

p

¬p ⊥

(cas particulier)

D∨p∨p D∨p

(f actorisation)

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Dérivation par résolution Exemple : p∨r∨s r ∨ ¬s ¬r p∨r∨r p∨r p