FONCTIONS DE IR n DANS IR p

I) NOTIONS DE TOPOLOGIE SUR IR n 1) Normes sur IR n : a) Définition: On appelle norme sur  n toute application x  x de  n dans   telle que : (i) x  0  x  0 (ii)   IK, x  E, x  ||x (iii) x, y  E 2 x  y  x  y (l’inégalité triangulaire) L’espace  n étant muni de la norme   est dit espace normé. b) Exemples: Sur  l’application valeur absolue x  |x| est une norme. Sur  n les applications   1 : x 

|x k | k1 n

,  2 : x  |x k |2  1/2 et k1 n

   : x  sup 1  k  n |x k | sont des normes. Remarque: Dans l’espace  n , on a pour tout x   n : x   x 2  x 1  nx   nx 1 , Plus généralement, nous verrons plutard que deux normes quelconques sur  n   et    sont équivalentes dans le sens suivant : ,   0 tel que : x   x  x  c) Boules ouvertes et fermées de  n Soit   une norme sur  n . Pour tout point x de  n et tout r  0 , la boule ouverte ( respectivement fermée) de centre x et de rayon r est définie par : Bx, r  y   n / x  y  r ( respectivement Bx, r  y   n / x  y  r ). Dans  les boules ouvertes ( respectivement fermées ) sont les intervalles centrés ouverts (respectivement fermés). Exercice . Déterminer les boules unités de  2 centrées à l’origine des trois normes fondamentales définies ci-dessus. d) Intérieur,adhérence d’une partie de  n Une partie A de  n est dite ouverte si elle est soit vide soit non vide et si pour tout point x de A il existe r  0 telle que la boule de centre x et de rayon r soit contenue dans A ( Bx, r  A). Soit A une partie quelconque de  n ; un point a de A est dit point intérieur de A s’il existe une boule centrée en a et contenu dans A .L’intérieur d’une partie A quelconque de  n est l’ensemble des points intérieurs de A et c’est le plus grand ouvert de  n contenu dans A , il es noté A ° . A titre d’exemple, les boules ouvertes et plus généralement les réunions quelconques