Kit de survie - Bac S 1
1-1 Opérations sur les inégalités même sens même sens sens contraire sens contraire même sens même sens même sens même sens même sens sens contraire

Inégalités - Etude de signe

Règles usuelles : Pour tout a : Pour tout k > 0 : Pour tout k < 0 :

x < y ⇔ x+a < y+a x < y ⇒ kx < ky x < y ⇒ kx > ky 1 1 Pour x et y de même signe : x < y ⇒ > x y 2 < y2 Pour x > 0 et y > 0 : x 0 et y > 0 : x 0 et y > 0 : x < y ⇒ ln x < ln y Pour tous x et y : x < y ⇒ ex < ey Si f croissante * : x < y ⇒ f (x) < f (y) Si f décroissante * : x < y ⇒ f (x) > f (y) (* sur un intervalle contenant x et y) Exemples :

• Sachant que 3 < x < 5, que peut-on en conclure pour

1 ? 3−x

3 < x < 5 ⇒ −3 > −x > −5 (sens contraire) ⇒ 0 > 3 − x > −2 ⇒ • Comment montrer que pour tout x > 1, 1 1 ? 1 : √ √ √ 1 1 0 < x2 − 1 < x2 ⇒ x2 − 1 < x2 ⇒ x2 − 1 < x (car x > 0) ⇒ √ > (sens contraire) x2 − 1 x Rappels : • On peut toujours ajouter membre à membre deux inégalités. • On peut multiplier membre à membre deux inégalités si tous les termes sont positifs. • On ne peut pas soustraire ou diviser membre à membre deux inégalités. Encadrement de x − y : • On détermine d’abord un encadrement de −y, puis on effectue la somme membre à membre avec celui de x. −2 < x < 3 −2 < x < 3 Exemple : ⇒ ⇒ −1 < x − y < 7. −4 < y < −1 1 < −y < 4 (sens contraire) x : (les bornes de l’encadrement de x étant de même signe - idem pour y) y 1 • On détermine d’abord un encadrement de , puis il faut s’arranger pour multiplier membre à membre deux encadrements dont y tous les termes sont positifs.   8 0 .

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Suites géométriques

On passe d’un terme au terme suivant en multipliant toujours par le même nombre b appelé raison de la suite. • Pour tout n : Un+1 = b ·Un ; Un = bn ·U0 ; Un = bn−p ·U p Un+1 • Si pour tout n, Un = constante alors (Un ) est une suite géométrique de raison égale à la constante. 1 − bn−p+1 1 − bnb de termes • U p +U p+1 + · · · +Un = U p × = 1er terme × (pour b = 1) 1−b