En bref,
Toute vérité n’est pas démontrable, car il y a des vérités données par intuition, et il s’agit des évidences qui ont valeur de principes. Mais cela signifie alors que tout est démontrable si l’on part de premiers principes ou axiomes évidents. Est-ce bien le cas ? Allant plus loin, Gödel a démontré que tout n’est pas décidable, parce que l’on peut construire un énoncé qui ne peut pas être prouvé. « Dans tout système axiomatisé, capable de formaliser l’arithmétique, on peut construire un énoncé qui ne peut être ni prouvé ni réfuté dans ce système. » On ne peut donc pas décider s’il appartient au système des vérités : il est construit en lui et cependant il échappe à la preuve. Davantage, Gödel démontre que « Tout énoncé qui affirme la cohérence du système est lui-même indécidable dans ce système.» On voit ainsi qu’il n’y a aucune formalisation complète possible. Il y a toujours un en dehors du système qui permet de le rendre cohérent sans que l’on puisse jamais l’intégrer au système.En bref,
Toute vérité n’est pas démontrable, car il y a des vérités données par intuition, et il s’agit des évidences qui ont valeur de principes. Mais cela signifie alors que tout est démontrable si l’on part de premiers principes ou axiomes évidents. Est-ce bien le cas ? Allant plus loin, Gödel a démontré que tout n’est pas décidable, parce que l’on peut construire un énoncé qui ne peut pas être prouvé. « Dans tout système axiomatisé, capable de formaliser l’arithmétique, on peut construire un énoncé qui ne peut être ni prouvé ni réfuté dans ce système. » On ne peut donc pas décider s’il appartient au système des vérités : il est construit en lui et cependant il échappe à la preuve. Davantage, Gödel démontre que « Tout énoncé qui affirme la cohérence du système est lui-même indécidable dans ce système.» On voit ainsi qu’il n’y a aucune formalisation complète possible. Il y a toujours un en dehors du système qui permet de le rendre cohérent sans que l’on puisse jamais