1S1 – Corrigé DM10

A. La droite d'Euler d'un triangle

1. Faire une figure soignée Le dessin peut être fait avec Sine qua non

[pic] 2. Soit h l'homothétie de centre G qui transforme A en A'. a) On sait que le centre de gravité d'un triangle est situé aux deux-tiers de la médiane. Plus précisément, si A' est le milieu de [BC] alors on a : =. On en déduit : 3=2 Donc : 3=2+2 Donc : =2 Finalement : =-)). Donc )). De la même façon, on a : =- donc ) et : =- donc ). b) On sait que l'image d'une droite par une homothétie est une droite parallèle. On sait que h(A)=A'. Donc l'image de la droite ) par h est la droite parallèe à ) passant par A'. Or A' est le milieu de [BC] et )┴(BC). Donc la parallèle à ) passant par A' est la médiatrice de [BC]. ) par h est la médiatrice de [BC])).

De la même façon, on peut démontrer que ) par h est la médiatrice de [AC])).

On sait que H est l'othocentre du triangle ABC, donc appartient aux hauteurs ) et ). Donc l'image de H par h appartient à la fois à l'image de ) et de ) par h : );H☻)) )) donc );h(H)☻h)) )) Donc l'image de H par h appartient aux médiatrices de [BC] et de [AC]. On sait que l'intersection des médiatrices est le point O, centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Donc ).

c) On vient de démontrer que h(H)=O. On sait que, le centre d'une homothétie est toujours aligné avec un point et son image. Donc G, centre de l'homothétie h, est aligné avec O et H et, de plus : =-. On en déduit : 2= puis : 2=+ puis : =+2 finalement : =3)). 3. a) Quelle est la droite d'Euler d'un triangle isocèle ? Dans un triangle isocèle ABC (de côtés égaux AB et AC), la médiane issue de A est en même temps la