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  • Publié le : 15 mai 2011
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1S1 – Corrigé DM10

A. La droite d'Euler d'un triangle

1. Faire une figure soignée
Le dessin peut être fait avec Sine qua non

[pic]
2. Soit h l'homothétie de centre G qui transforme A en A'.
a) On sait que le centre de gravité d'un triangle est situé aux deux-tiers de la médiane. Plus précisément, si A' est le milieu de [BC] alors on a : =.
On endéduit : 3=2
Donc : 3=2+2
Donc : =2
Finalement : =-)).
Donc )).
De la même façon, on a : =- donc )
et : =- donc ).
b) On sait que l'image d'une droite par une homothétie est une droite parallèle.
On sait que h(A)=A'.
Donc l'image de la droite ) par h est la droite parallèe à ) passantpar A'.
Or A' est le milieu de [BC] et )┴(BC).
Donc la parallèle à ) passant par A' est la médiatrice de [BC].
) par h est la médiatrice de [BC])).

De la même façon, on peut démontrer que ) par h est la médiatrice de [AC])).

On sait que H est l'othocentre du triangle ABC, donc appartient aux hauteurs ) et ).
Donc l'image de H parh appartient à la fois à l'image de ) et de ) par h :
);H☻)) )) donc );h(H)☻h)) ))
Donc l'image de H par h appartient aux médiatrices de [BC] et de [AC].
On sait que l'intersection des médiatrices est le point O, centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
Donc ).

c) On vient de démontrer que h(H)=O.
On sait que, le centre d'unehomothétie est toujours aligné avec un point et son image.
Donc G, centre de l'homothétie h, est aligné avec O et H et, de plus : =-.
On en déduit : 2=
puis : 2=+
puis : =+2
finalement : =3)).
3. a) Quelle est la droite d'Euler d'un triangle isocèle ?
Dans un triangle isocèle ABC (de côtés égaux AB et AC), la médianeissue de A est en même temps la hauteur issue de A et la médiatrice de [BC].
Donc le centre de gravité G, l'othocentre H et le centre O du cercle ABC sont situés sur cette hauteur-médiane-médiatrice.
Donc la droite d'Euler du triangle isocèle ABC est cette hauteur-médiane-médiatrice.
b) La droite d'Euler d'un triangle peut-elle être confondue avec l'une de ses médianes?
Nous savons déjà que oui, si le triangle est isocèle. Mais le cas peut-il se produire avec un triangle non isocèle ?
Supposons que la droite d'Euler de ABC soit la médiane (AA').
On en déduit que H☻(AA').
Donc (AA') est aussi une hauteur de ABC, donc aussi la médiatrice de [BC] (orthogonale à (BC) passant par le milieu de [BC]).
Donc, Aétant sur cette médiatrice de [BC], on en déduit que AB=AC et donc que le triangle ABC est isocèle.
La droite d'Euler d'un triangle est confondue avec l'une de ses médianes si et seulement c'est un triangle isocèle.
c) Deux triangles différents peuvent-ils avoir la même droite d'Euler ?
Oui, en effet :
Soit ABC et triangle dont la droite d'Euler est (OH).• Considérons un vecteur non nul colinéaire à .
L'image du triangle (ABC) par la translation de vecteur est un triangle isométrique à ABC de même droite d'Euler, car la droite (OH) est globalement invariante par une translation dont le vecteur est un vecteur directeur de (OH).
• De même, si on construit l'image du triangle ABC par une homothétiedont le centre appartient à la droite d'Euler de ABC, alors on obtiendra un nouveau triangle dont la droite d'Euler sera la même.

B. Une propriété de l'orthocentre

1. Soit Γ l'image du cercle C par la réflexion d'axe (BC).
a) En utilisant l'égalité =3, démontrer que : =2'.
On a : =+
donc : =2'++) car, G étant le centre de gravité de ABC, on a =',...
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