La Modélisation VAR
June 20, 2001

1. Représentation VAR
1.1. Exemple introductif On considère deux processus stationnaires fy1;t ; t 2 Zg et fy2;t t 2 Zg dé…nies par les relations suivantes : p p X X c1;i y2;t¡i ¡ d1 y2;t + "1;t (1.1) b1;i y1;t¡i + y1;t = a1 + i=1 p i=1

y2;t = a2 +

où les innovations f"1;t ; t 2 Zg et f"2;t ; t 2 Zg sont des bruits de variance respective ¾ 2 et 1 ¾ 2 ; et non corrélés : E ("1;t "2;t¡j ) = 0; 8j 2 Z: On constate immédiatement que le processus 2 vectoriel Yt = (y1;t y2;t )0 peut s’écrire sous la forme d’un processus AR (p) : En e¤et : µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 d1 a1 b1;i c1;i B= A0 = Ai = 8i 2 [1; p] d2 1 a2 b2;i c2;i On dé…nit un processus vectoriel "t i:i:d: tel que : µ 2 ¶ µ ¶ ³ 0´ ¾1 0 "1;t "t = E "t "t = - = 0 ¾2 "2;t 2 Alors, on montre immédiatement que : p X i=1

X i=1 b2;i y1;t¡i +

p X i=1

c2;i y2;t¡i ¡ d2 y1;t + "1;t

(1.2)

BYt = A0 +

Ai Yt¡i + "t

(1.3)

On quali…e cette représentation de processus V AR (Vectorial Autoregressive) d’ordre p, noté V AR(p). Ce système initial donnée par les équations (1.1) et (1.2), ou par la dé…nition matricielle (1.3) est quali…ée de représentation structurelle. On constate que dans cette

Chapitre 4. Estimation, Tests de Validation, Prevision des Processus ARMA

43

représentation le niveau de y2;t a un e¤et immédiat sur y1;t et vice et versa. L’estimation de ce modèle suppose donc d’estimer 4 ¤ (p + 1) + 2 + 2 paramètres. C’est pourquoi on travaille généralement à partir de la forme réduite du modèle V AR: Ce modèle, obtenu en multipliant les deux membres de (1.3) par B ¡1 ; s’écrit alors sous la forme : p X e0 + e Yt = A Ai Yt¡i + vt (1.4) i=1 avec :

e Ai = B ¡1 Ai 8i 2 [0; p] vt = B ¡1 "t 8t 2 Z Ce qui peut s’écrire sous la forme : y1;t = e1 + a y2;t = e2 + a p X i=1 p X i=1 p X i=1 p X i=1

e1;i y1;t¡i + b e2;i y1;t¡i + b

e1;i y2;t¡i + v1;t c e2;i y2;t¡i + v1;t c

(1.5)

(1.6)

On constate alors que le niveau de y2;t ne dépend plus