´ ´ Td1 d’integration et probabilites ´ Espaces mesures

Exercice 1 : lim inf et lim sup de suites d’ensembles mesurables. 1. Question pr´liminaire. Soit (an )n≥0 une suite de r´els. On d´finit les deux nombres suivants e e e dans R : lim sup an = lim sup ak et lim inf an = lim inf ak . n→∞ n→∞ k≥n n→∞ n→∞ k≥n

(a) V´rifier que ces deux d´finitions ont bien un sens. e e (b) V´rifier les assertions suivantes : e • lim sup an < α ⇒ ∃n ≥ 0, ∀k ≥ n, ak < α. n→∞ • ∃n ≥ 0, ∀k ≥ n, ak < α ⇒ lim sup an ≤ α. n→∞ • lim sup an > α ⇒ ∀n ≥ 0, ∃k ≥ n, ak > α. n→∞ • ∀n ≥ 0, ∃k ≥ n, ak > α ⇒ lim sup an ≥ α. n→∞ ´ Ecrire des assertions similaires faisant intervenir lim inf an . n→∞ (c) V´rifier que an −→ l ∈ R si et seulement si lim sup an = lim inf an = l. e n→∞ n→∞ n→∞

2. On consid`re un ensemble E, et (An )n≥1 une suite de sous-ensembles de E. Si A ⊆ E, on e note 1A sa fonction caract´ristique. e (a) Que repr´sentent les ensembles suivants, e Ak , n≥1 k≥n n≥1 k≥n

Ak ?

Le premier est not´ lim inf n→∞ An , le second lim supn→∞ An . Relier les fonctions e caract´ristiques 1lim inf n→∞ An , 1lim supn→∞ An aux fonctions 1An , n ≥ 1. e On suppose dans les questions (b) et (c) que (E, A, µ) est un espace mesur´ (µ est une e mesure positive) et que (An )n≥1 est une suite d’´l´ments de A . ee (b) Montrer que µ lim inf An ≤ lim inf µ(An ) , n→∞ n→∞

et que si µ(∪n≥1 An ) < ∞, alors µ lim sup An n→∞ ≥ lim sup µ(An ) . n→∞ n≥1 µ(An )

(c) Lemme de Borel-Cantelli. On suppose que

< ∞. Montrer que

µ lim sup An n→∞ = 0.

Mathilde Weill - ENS - FIMFA 07/08

3. Deux applications du lemme de Borel-Cantelli. (a) Soit ε > 0. Montrer que pour presque-tout x ∈ [0, 1] (pour la mesure de Lebesgue), il n’existe qu’un nombre fini de rationnels p/q avec p et q premiers entre eux tels que x− p 1 < 2+ε , q q

ie presque tout x est “mal approchable par des rationnels ` l’ordre 2 + ε”. a (b) Soient (an )n≥1 une suite de r´els et (αn )n≥1 une suite de