Le mal dans profession de foi

Disponible uniquement sur Etudier
  • Pages : 11 (2600 mots )
  • Téléchargement(s) : 0
  • Publié le : 21 avril 2011
Lire le document complet
Aperçu du document
´ ´ Td1 d’integration et probabilites ´ Espaces mesures

Exercice 1 : lim inf et lim sup de suites d’ensembles mesurables. 1. Question pr´liminaire. Soit (an )n≥0 une suite de r´els. On d´finit les deux nombres suivants e e e dans R : lim sup an = lim sup ak et lim inf an = lim inf ak .
n→∞ n→∞ k≥n n→∞ n→∞ k≥n

(a) V´rifier que ces deux d´finitions ont bien un sens. e e (b) V´rifier lesassertions suivantes : e • lim sup an < α ⇒ ∃n ≥ 0, ∀k ≥ n, ak < α.
n→∞

• ∃n ≥ 0, ∀k ≥ n, ak < α ⇒ lim sup an ≤ α.
n→∞

• lim sup an > α ⇒ ∀n ≥ 0, ∃k ≥ n, ak > α.
n→∞

• ∀n ≥ 0, ∃k ≥ n, ak > α ⇒ lim sup an ≥ α.
n→∞

´ Ecrire des assertions similaires faisant intervenir lim inf an .
n→∞

(c) V´rifier que an −→ l ∈ R si et seulement si lim sup an = lim inf an = l. e
n→∞ n→∞ n→∞

2. Onconsid`re un ensemble E, et (An )n≥1 une suite de sous-ensembles de E. Si A ⊆ E, on e note 1A sa fonction caract´ristique. e (a) Que repr´sentent les ensembles suivants, e Ak ,
n≥1 k≥n n≥1 k≥n

Ak ?

Le premier est not´ lim inf n→∞ An , le second lim supn→∞ An . Relier les fonctions e caract´ristiques 1lim inf n→∞ An , 1lim supn→∞ An aux fonctions 1An , n ≥ 1. e On suppose dans les questions (b)et (c) que (E, A, µ) est un espace mesur´ (µ est une e mesure positive) et que (An )n≥1 est une suite d’´l´ments de A . ee (b) Montrer que µ lim inf An ≤ lim inf µ(An ) ,
n→∞ n→∞

et que si µ(∪n≥1 An ) < ∞, alors µ lim sup An
n→∞

≥ lim sup µ(An ) .
n→∞ n≥1 µ(An )

(c) Lemme de Borel-Cantelli. On suppose que

< ∞. Montrer que

µ lim sup An
n→∞

= 0.

Mathilde Weill - ENS - FIMFA07/08

3. Deux applications du lemme de Borel-Cantelli. (a) Soit ε > 0. Montrer que pour presque-tout x ∈ [0, 1] (pour la mesure de Lebesgue), il n’existe qu’un nombre fini de rationnels p/q avec p et q premiers entre eux tels que x− p 1 < 2+ε , q q

ie presque tout x est “mal approchable par des rationnels ` l’ordre 2 + ε”. a (b) Soient (an )n≥1 une suite de r´els et (αn )n≥1 une suite der´els strictement positifs. e e √ Montrer que si n≥1 αn < +∞, alors pour presque tout x ∈ R (pour la mesure de Lebesgue), αn < +∞. |x − an |
n≥1

Correction. 1.(a) La suite (supk≥n )n≥0 (resp. (inf k≥n )n≥0 ) est d´croissante (resp. croissante), elle admet donc une e limite dans R ∪ {−∞} (resp. R ∪ {+∞}). 1.(b) On ne montre que les deux premi`res assertions. e • Si lim supn→∞ an < α alors il existeε > 0 tel que lim supn→∞ an ≤ α − ε. Donc il existe un n tel que supk≥n an ≤ α − ε/2. On obtient la premi`re assertion. e • S’il existe un n tel que ak < α pour tout k ≥ n alors supk≥n ak ≤ α et l’on obtient la seconde assertion. 1.(c) On a pour tout n ≥ 0,
k≥n

inf ak ≤ an ≤ sup ak .
k≥n

Si l’on suppose que lim supn→∞ an = lim inf n→∞ an = l ∈ R ∪ {−∞, +∞}, alors on a an → l quand n → ∞.On suppose r´ciproquement que an → l ∈ R quand n → ∞. Alors pour tout ε > 0 on e trouve n tel que l − ε ≤ ak ≤ l + ε pour tout k ≥ n. Donc l − ε ≤ inf ak ≤ sup ak ≤ l + ε,
k≥n k≥n

et lim supn→∞ an = lim inf n→∞ an = l. Les cas l = +∞ et l = −∞ se traitent de la mˆme fa¸on. e c 2.(a) L’ensemble lim inf n→∞ An est l’ensemble des ´l´ments qui appartiennent ` tous les An ` partir ee a a d’uncertain rang et l’ensemble lim supn→∞ An est l’ensemble des ´l´ments qui appartiennent ` ee a une infinit´ de An . On a l’´galit´ e e e

1lim inf n→∞ An = lim inf 1An . n→∞
En effet, x ∈ lim inf An
n→∞

(1)

⇔ ⇔

∃n0 ∈ N : x ∈ An , ∀n ≥ n0 , ∃n0 ∈ N : inf
n→∞ n≥n0

1An (x) = 1,

⇔ lim inf 1An (x) = 1.

Mathilde Weill - ENS - FIMFA 07/08

L’´galit´ e e

1lim supn An = lim sup 1An
nse d´montre de fa¸on similaire ` (1) ou en passant au compl´mentaire dans (1) en remarquant que e c a e
c

lim sup An
n→∞

= lim inf (An )c .
n→∞

2.(b) On remarque que, pour tout n ≥ 0 et pour tout k ≥ n,   µ
p≥n

Ap  ≤ µ(Ak ).

Ainsi,  µ
k≥n

 Ak  ≤ inf µ(Ak ).
k≥n

(2)

Or la suite (∩k≥n Ak )n≥0 est croissante. Le r´sultat s’obtient donc en passant ` la...
tracking img