Le mal

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E3A, 2007, MP, Math´matiques A e
(5 pages )

Partie I

1)

X −→ (F | X) est une forme lin´aire sur Mn (R) et elle est non nulle car (F | F ) = 0 donc son noyau est e un hyperplan de Mn (R) et, ainsi, H est un hyperplan de Mn (R) .

2)

Posons Y = tF X. On a ∀i ∈ [[1, n]]2 yii =

n

n

n

fki xki donc (F | X) =
k=1 n i=1 k=1 n

fki xki donc , puisque fki = 1
n−1

pour i =k ou i = 1 ou i = n et fki = 0 sinon, on a (F | X) =
k=1

xkk +
k=2

xk1 +
k=1

xkn .

3)

Par d´finition de H, on a F ∈ H ⊥ donc, puisque Mn (R) est de dimension finie, on a Mn (R) = H ⊕ R.F . e Soit M ∈ Mn (R), on peut donc ´crire M = N + λF avec N ∈ H et λF ∈ H ⊥ et, en prenant le e (F | M ) produit scalaire avec F , (F | M ) = (F | N ) + λ F 2 = λ F 2 donc λ = . On a donc F 2 ∀U ∈H, M − U = (N − U ) + λF avec N − U ∈ H. Donc le th´or`me de Pythagore donne M − U 2 = e e (F | M )2 |(F | M )| 2 2 2 2 2 N −U +λ F λ F = donc d(M, H) = . F F 2

4)

F

2

n

n

=
i=1 k=1

2 fki = n + 2(n − 1) = 3n − 2 donc F =



3n − 2 .

5) a)

0 0 1 0 . . B=. . . . 1 0 1 0  1 0 1 0 . . B2 =  . . . . 1 0 0 0 

··· 0 ··· 0 . . . ··· 0 ··· 0 ··· 0 ··· 0 . . .··· 0 ··· 0

 1 1 . .  donc rg(B) = 2 . . 1 0  0 1 . .  donc rg(B 2 ) = rg(B) = 2 . . 1 1

b)

c)

D’apr`s le th´or`me du rang, dim Ker(g) + dim Im(g) = n et si x ∈ Ker(g) ∩ Im(g), on a g(x) = 0E e e e et il existe y tel que x = g(y) donc g 2 (y) = 0E . Ainsi y ∈ Ker(g 2 ). Mais Ker(g) ⊂ Ker(g 2 ) et dim Ker(g) = n − 2 = dim Ker(g 2 ) puisque, selon [b], rg(g) = rg(g 2 ) doncKer(g 2 ) = Ker(g). On a donc y ∈ Ker(g) donc x = g(y) = 0E . Donc Ker(g) ⊕ Im(g) = R n .

E3A, 2007, MP, Math´matiques A e d)

2/5

Prenons une base B = e1 , . . . , en−2 , en−1 , en adapt´e ` la somme directe ci-dessus. On a g(ek ) = 0E e a pour k ∈ [[1, n − 2]] et g(ek ) ∈ Im g = Vect en−1 , en pour tout k et, notamment pour k ∈ {n − 1, n}. O O Donc Mat(g, B) = avec B ∈ M2 (R). De plus, OB 2 = rg(g) = rg (Mat(g, B)) = rg donc B est inversible. Donc B est semblable ` une matrice de la forme a O O O B avec B ∈ GL2 (R) . O B = rg ( O
t

B ) = rg( tB ) = rg(B )

e)

On a directement Tr(B) = 0, Tr(B 2 ) = 2. Soient λ et µ, les valeurs propres dans C de B (pas forc´ment distinctes). B est trigonalisable dans e λ c λ2 c(λ + µ) 2 M2 (C) donc semblable ` a et donc B est semblable `a . Or, selon [d], Tr(B) = 0 µ 0 µ2 O O donc Tr(B 2 ) = Tr(B 2 ) Tr(B ) donc λ + µ = 0 et [d] donne aussi que B 2 est semblable ` a O B2 soit λ2 + µ2 = 2. On a donc µ = −λ et 2λ2 = 2 donc Sp(B ) = {−1, 1} .

f)

F.x = αx ⇔ (In + B).x = αx donc F.x = αx ⇔ B.x = (α − 1)x donc Sp(F ) = 1 + β | β ∈ Sp(B) et Eα (F ) = Eα−1 (B). Comme χB = X n−2 χB = X n−2 (X + 1)(X − 1), Sp(B) = {−1, 1, 0} et,puisque m(1) = m(−1) = 1, dim E−1 (B) = dim E1 (B) = 1. D’autre part, on a dim E0 (B) = dim(Ker g) = n − 2. Donc Sp(F ) = {0, 1, 2} avec dim E0 (F ) = dim E2 (F ) = 1 et dim E1 (F ) = n − 2 . D’apr`s la formule du [3], il suffit de calculer (F | P ( tF )) = Tr tF P ( tF ) = Tr S( tF ) en noe tant S(X) = XP (X). Or dim E0 (F ) + dim E2 (F ) + dim E1 (F ) = n donc E0 (F ) ⊕ E2 (F ) ⊕ E1 (F ) = R n c’est `dire que F est diagonalisable donc tF ´galement. Ainsi S( tF ) est semblable ` a e a Diag S(1), . . . , S(1), S(0), S(2) donc Tr S( tF ) = (n − 2)S(1) + S(0) + S(2) = (n − 2)P (1) + 2P (2). (n − 2)P (1) + 2P (2) √ . Donc d P ( tF ), H = 3n − 2

6)

Partie II

1) a)

Par caract´risation de la borne inf´rieure, ∀ε > 0, ∃ y ∈ H, d(x0 , H) e e x0 − y < d(x0 , H) + ε. On 1 applique ceci ` ε =n + 1 pour n ∈ N et on note yn un des y ∈ H v´rifiant l’in´galit´. On a donc a e e e ∀n ∈ N, yn ∈ H et d(x0 , H) x0 − yn < d(x0 , H) + lim 1 n+1

donc il existe une suite (yn )n∈N telle que ∀n ∈ N, yn ∈ H et b)

n→+∞

x0 − yn = d(x0 , H) .

On a ∀n ∈ N, yn = yn − x0 + x0 yn − x0 + x0 et la suite x0 − yn n∈N est born´e e puisqu’elle converge donc la suite yn n∈N est aussi born´e. Le...
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