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Enoncés Exercice 7 [ 03156 ] [correction] Soit u un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E de dimension finie. Montrer ∀k, ∈ N, dim ker uk+ dim ker uk + dim ker u

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Eléments d’algèbre linéaire
Généralités d’algèbre linéaire
Exercice 1 [ 00159 ] [correction] Soit f ∈ L(E) tel que pour tout x ∈ E, x et f (x) soient colinéaires. Montrer que f est une homothétie vectorielle.

Projecteurs
Exercice 8 [ 00165 ] [correction] Soient p et q deux projecteurs d’un K-espace vectoriel E. a) Montrer que p et q ont même noyau si, et seulement si, p ◦ q = p et q ◦ p = q. b) Enoncer une condition nécessaire et suffisante semblable pour que p et q aient même image.

Exercice 2 [ 00160 ] [correction] Soient F , G et H des sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E. Comparer : a) F ∩ (G + H) et (F ∩ G) + (F ∩ H). b) F + (G ∩ H) et (F + G) ∩ (F + H).

Exercice 3 [ 00161 ] [correction] A quelle condition la réunion de deux sous-espaces vectoriels est-elle est un sous-espace vectoriel ?

Exercice 9 Centrale MP [ 00164 ] [correction] Soient p, q deux projecteurs d’un K-espace vectoriel E. a) Montrer que p + q est un projecteur si, et seulement si, p ◦ q = q ◦ p = ˜. 0 b) Préciser alors Im(p + q) et ker(p + q)

Exercice 4 [ 00163 ] [correction] Soient n ∈ N , E = Rn [X] et ∆ l’endomorphisme de E déterminé par ∆(P ) = P (X + 1) − P (X). a) Justifier que l’endomorphisme ∆ est nilpotent. b) Déterminer des réels a0 , . . . , an , an+1 non triviaux vérifiant : n+1 Exercice 10 [ 02468 ] [correction] Soient p et q deux projecteurs d’un K-espace vectoriel E vérifiant p ◦ q = 0. a) Montrer que r = p + q − q ◦ p est un projecteur. b) Déterminer image et noyau de celui-ci.

∀P ∈ Rn [X] , k=0 ak P (X + k) = 0.

Exercice 5 Mines-Ponts MP√ [ 02662 ] [correction] √ √ Soit K = Q + 2Q√ √ √ 6Q. + 3Q + a) Montrer que (1, 2, 3, 6) est une Q-base du Q-espace vectoriel K. b) Montrer que K est un sous-corps de R. Exercice 6