Le mal

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  • Publié le : 16 juillet 2010
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Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD

Enoncés

1
[ 02131 ]

Polynôme en une indéterminée
L'anneau des polynômes
Exercice 1
Résoudre les équations suivantes : a) Q2 = XP 2 d'inconnues P, Q ∈ K [X] b) P ◦ P = P d'inconnue P ∈ K [X].
[ 02127 ]

Exercice 7 X MP

Déterminer dans K [X] tous les polynômes divisibles par leur polynôme dérivé.

Exercice 8

[ 02132 ]Soit P ∈ K [X]. Montrer que P (X + 1) =

+∞ n=0

1 (n) (X). n! P

Arithmétique des polynômes
Exercice 9
2

Exercice 2 Mines-Ponts MP

Trouver les P ∈ R [X] tels que P (X ) = (X + 1)P (X).

[ 02674 ]
2

Montrer les divisibilités suivantes et déterminer les quotients correspondant : a) X − 1 | X 3 − 2X 2 + 3X − 2 b) X − 2 | X 3 − 3X 2 + 3X − 2 c) X + 1 | X 3 + 3X 2 − 2.

[ 02133]

Exercice 3

a) Pour n ∈ N, développer le polynôme

[ 02377 ]

(1 + X)(1 + X 2 )(1 + X 4 ) . . . (1 + X 2 )
b) En déduire que tout entier p > 0 s'écrit de façon unique comme somme de puissance de 2 : 1, 2, 4, 8, . . .

n

Exercice 10
Soit P =
n k=0

[ 02134 ]

ak X k ∈ K [X].

a) Montrer que P − X divise P ◦ P − P . b) En déduire que P − X divise P ◦ P − X .

Exercice 4 XMP

Soit P ∈ C [X] non constant et tel que P (0) = 1. Montrer que :

[ 00271 ]

Exercice 11

Soit A, B ∈ K [X] tels que A2 | B 2 . Montrer que A | B .

[ 02135 ]

∀ε > 0, ∃z ∈ C, |z| < ε et |P (z)| < 1

Dérivation
Exercice 5
Résoudre les équations suivantes : a) P 2 = 4P d'inconnue P ∈ K [X] b) (X 2 + 1)P − 6P = 0 d'inconnue P ∈ K [X].
[ 02129 ]

Soit A, B ∈ K [X] non constantset premiers entre eux. 2 Montrer qu'il existe un unique couple (U, V ) ∈ K [X] tel que AU + BV = 1 et deg U < deg B . deg V < deg A

Exercice 12

[ 02136 ]

Montrer que pour tout entier naturel n, il existe un unique polynôme Pn ∈ R [X] tel que Pn − Pn = X n . Exprimer les coecients de Pn à l'aide de nombres factoriels.

Exercice 6

[ 02130 ]

2 Soit (A, B) ∈ K [X] non nuls. Montrerque les assertions suivantes sont équivalentes : (i) A et B ne sont pas premiers entre eux. (ii) ∃(U, V ) ∈ ( K [X] − {0})2 tel que AU + BV = 0, deg U < deg B et deg V < deg A.

Exercice 13

[ 02137 ]

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Enoncés

2

Exercice 14

Soit A, B ∈ K [X] non nuls. Montrer : A et B sont premiers entre eux ssi A + B et AB le sont.

[02138 ]

L'espace vectoriel des polynômes
Soit P1 = X 2 + 1, P2 = X 2 + X − 1 et P3 = X 2 + X . Montrer que la famille (P1 , P2 , P3 ) est une base de K2 [X].

Exercice 22

[ 02146 ]

Exercice 15

Soit A, B, C ∈ K [X] tels que A et B soient premiers entre eux. Montrer : pgcd(A, BC) = pgcd(A, C).

[ 02139 ]

Exercice 23

Division euclidienne
Exercice 16
En réalisant une divisioneuclidienne, former une condition nécessaire et susante sur (λ, µ) ∈ K 2 pour que X 2 + 2 divise X 4 + X 3 + λX 2 + µX + 2.
[ 02140 ]

Pour k ∈ {0, . . . , n}, on pose Pk = (X + 1)k+1 − X k+1 . Montrer que la famille (P0 , . . . , Pn ) est une base de Kn [X].

[ 02147 ]

Pour k ∈ {0, . . . , n}, on pose Pk = X k (1 − X)n−k . Montrer que la famille (P0 , . . . , Pn ) est une base de Kn [X].Exercice 24

[ 02148 ]

Exercice 17

Soit (a, b) ∈ K 2 tel que a = b et P ∈ K [X]. Exprimer le reste de la division euclidienne de P par (X − a)(X − b) en fonction de P (a) et P (b).

[ 02141 ]

Exercice 25

Pour k ∈ N, on pose

[ 02149 ]

Soit a ∈ K et P ∈ K [X]. Exprimer le reste de la division euclidienne de P par (X − a)2 en fonction de P (a) et P (a).

Exercice 18

[ 02142]

X(X − 1) . . . (X − k + 1) k! a) Montrer que la famille (P0 , P1 , . . . , Pn ) est une base de Rn [X]. b) Montrer que ∀x ∈ Z, ∀k ∈ N, Pk (x) ∈ Z Pk =
c) Trouver tous les polynômes P tels que

Soit t ∈ R et n ∈ N . Déterminer le reste de la division euclidienne dans R [X] de (X cos t + sin t)n par X 2 + 1.

Exercice 19 X MP

[ 02143 ]

∀x ∈ Z, P (x) ∈ Z

Exercice 20

Soit k, n...
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