Le mal

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Universit´ Denis Diderot (Paris VII) e ´ ` ´ Preparation a l’Agregation Interne

13 D´cembre 2008 e

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Quelques exercices sur la dualit´ e

Exercice 1. Soit E un espace vectoriel de dimension finie B, B deux bases de E. Notons P la matrice de passage de B a B . Quelle est la matrice de passage de la base duale B ∗ de B a la base duale (B )∗ ` ` de B ? Exercice 2. Soient a et b deux pointsdistincts de K. Sur le K espace vectoriel E des polynˆmes de degr´ o e 3, on consid`re les formes lin´aires f1 : P → P (a), f2 : P → P (a), f3 : P → P (b), f4 : P → P (b). e e 1. Calculer {f1 , f2 , f3 , f4 }o (l’ensemble des P ∈ E tels que f1 (P ) = f2 (P ) = f3 (P ) = f4 (P ) = 0). 2. D´montrer que (f1 , f2 , f3 , f4 ) est une base de E ∗ . e 3. Quelle est la base de E dont (f1 , f2 , f3 , f4 )est la base duale ? Exercice 3. Soit E un K espace vectoriel. 1. D´montrer que deux formes lin´aires sur E dont les noyaux sont ´gaux sont proportionnelles. e e e 2. Soient f1 , . . . , fk des formes lin´aires sur E et f ∈ E ∗ . D´montrer que l’on a f ∈ Vect{f1 , . . . , fk } e e
k

si et seulement si
j=1

ker fj ⊂ ker f .

Exercice 4. Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Soit(f1 , . . . , fn ) une famille d’´l´ments de ee ∗ n E . Notons ϕ : E → K l’application x → (f1 (x), . . . , fn (x)). 1. On suppose que la famille (f1 , . . . , fn ) est une base de E ∗ . a) D´montrer que ϕ est injective. En d´duire qu’elle est bijective. e e b) D´montrer qu’il existe une base B de E telle que ϕ(B) soit la base canonique de K n . e 2. En d´duire que toute base de E ∗ est duale d’unebase de E. e 3. D´montrer que l’on a les ´quivalences suivantes : e e ϕ est injective si et seulement si la famille (f1 , . . . , fn ) est g´n´ratrice ; e e ϕ est surjective si et seulement si la famille (f1 , . . . , fn ) est libre. Exercice 5. Soient E et F des espaces vectoriels de dimension finie et f une application lin´aire de E e dans F . 1. D´montrer que tf est injective si et seulement sif est surjective et tf est surjective si et seulement e si f est injective. 2. D´montrer que ker tf = (imf )⊥ et imtf = (ker f )⊥ . e Exercice 6. On se propose de donner deux d´monstration du e Lemme de Schur. Un endomorphisme u d’un espace vectoriel E de dimension finie qui laisse stable tout hyperplan est une homoth´tie. e 1. Rappel : D´montrer qu’un endomorphisme qui laisse invariante toutedroite vectorielle est une e homoth´tie. e 2. Premi`re m´thode. e e a) D´montrer que la transpos´e de u laisse fixe toute droite - donc c’est est une homoth´tie. e e e b) En d´duire que u est une homoth´tie. e e 3. Deuxi`me m´thode. D´montrer que u laisse stable toute droite - donc c’est est une homoth´tie. e e e e

Exercice 7. Notons b : Mn (K) × Mn (K) → K l’application (A, B) → Tr(AB). 1.D´montrer que b est une forme bilin´aire sym´trique non d´g´n´r´e. e e e e e ee 2. On suppose que n 2. D´montrer que tout F hyperplan de Mn (K) contient une matrice inversible. e 3. On suppose que K = R. Quelle est la signature de b ? Exercice 8. [Dual d’un espace vectoriel complexe] Remarquons que tout espace vectoriel complexe est ∗ ∗ naturellement un espace vectoriel r´el. Soit E un espace vectorielcomplexe. Notons EC son dual et ER le e ∗ dual de E consid´r´ comme espace vectoriel r´el. Pour ∈ EC , notons Re( ) l’application x → Re( (x)). ee e ∗ ∗ 1. D´montrer que → Re( ) est une bijection de EC sur ER . e
∗ ∗ e ` 2. En particulier, ER s’identifie a l’espace vectoriel complexe EC . D´crire directement la structure ∗ ee d’espace vectoriel complexe sur ER , i.e. la multiplication d’un ´l´mentde ER par un nombre complexe.

Exercice 9. Soit q une forme quadratique sur un espace vectoriel r´el. Quelle est en fonction de la e signature de q la plus grande dimension de sous-espace isotrope de E (i.e. sous-espace vectoriel de E form´ de vecteurs isotropes) ? e Exercice 10. Nature de la quadrique d’´quation xy + yz + zx + 1 = 0. e

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Solutions

Exercice 1. Soient x ∈ E et f ∈ E ∗...
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