Lycée JANSON DE SAILLY 21 septembre 2012

DÉRIVATION

Tle ES

I 1

N OMBRE D ÉRIVÉ D ÉFINITION

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a un réel appartenant à I. f (x) − f (a) admet une limite réelle quand x tend vers a en restant dans I, on dit que la Lorsque le rapport x−a fonction f est dérivable en a et cette limite réelle, notée f ′ (a), est appelée le nombre dérivé de f en a. On note alors : f (x) − f (a) f ′ (a) = lim x→a x−a
2 TANGENTE À UNE COURBE

y Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en a où a est un réel de I, et C f sa courbe représentative dans un repère du plan. La droite passant par le point A (a; f (a)) de la courbe C f et de coefficient directeur f ′ (a) est appelée la tangente à la courbe C f au point d’abscisse a. A

f (a)

j
0

i

a

x

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en a où a est un réel de I, et C f sa courbe représentative dans un repère du plan. L’équation réduite de la tangente à la courbe C f au point A d’abscisse a est : y = f ′ (a) × (x − a) + f (a)
II 1 F ONCTION DÉRIVÉE D ÉFINITION

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. Lorsque pour tout réel x appartenant à I, f est dérivable en x, on dit que f est dérivable sur I. La fonction qui associe à tout réel x appartenant à I son nombre dérivé f ′ (x) est appelée la fonction dérivée de f sur l’intervalle I. Elle est notée f ′ .
2 D ÉRIVÉES DES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE

f définie sur . . . R R R R∗ R∗ [0; +∞[

f (x) k ax + b xn 1 x 1 xn √ x

f ′ (x) 0 a nxn−1 − − 1 x2 n

f dérivable sur . . . R R R pour n entier n R∗ R∗ pour n entier n ]0; +∞[ 1 2

xn+1 1 √ 2 x

A. YALLOUZ (MATH@ES)

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D ÉRIVÉES ET OPÉRATIONS

u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I :
•

(u + v)′ = u′ + v′ u2 = 2uu′
′

•

(ku)′ = k × u′
•

•

(uv)′ = u′ v + uv′

•

Si n est un entier