Le nombre d'or

Disponible uniquement sur Etudier
  • Pages : 7 (1612 mots )
  • Téléchargement(s) : 0
  • Publié le : 5 décembre 2010
Lire le document complet
Aperçu du document
Le nombre d'or et la science
I-Définition mathématique du nombre d'or L'un des moyens les plus simples pour arriver au nombre d'or est de se servir de la section dorée d'Euclide qui, dans le livre IV des Elements la définit ainsi :

Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand, comme elle est toute entière relativement au plus grand segment, ainsi est le plus grandrelativement au plus petit.
Ce qui se traduit par :

a+b
b

a

Cela signifie que le rapport du grand segment (a+b) sur le moyen segment b est égal au rapport du moyen segment b sur le petit segment a. On peut également traduire cette égalité à travers une équation mathématique :
a b b a b = équivaut à 1= b a b a a 1 Soit b l'inconnue x . On a alors x1 = x 1 x= −1 x
x² =1− x x² −x −1 =0

Oncherche à résoudre ce polynôme de degré 2 : − On calcule d'abord le discriminant :  = b² −4ac =1² − 4×1 ×−1 =14 =5 − On cherche les deux racines de l'équation puisque le discriminant est positif : −b−  1− 5 −b  1 5 x 1= = = et x 2= 2a 2 2a 2 Or, on cherche une longueur, qui est forcément positive. On ne gardera donc comme solution que x 2

Le nombre d'or correspond à cette solutionégalement  .

1  5 ≃1,618033 ... . On le note 2

II-Propriétés mathématiques du nombre d'or A-Les différentes écritures 1-Fraction continue Reprenons la formule de  sous sa forme de polynôme 2−−1=0 . L'écriture 2=1 découle de cette équation, puis =1 
=1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  ...
1

Ainsi on peut écrire 2-Racine continue

D'autre part, avec 2=1 , on peut également écrire= 1 , toujours en gardant la solution positive de l'équation. Ainsi = 1 1 1 1   … 3-Puissances Nous avons vu que 2=1 , ce que nous pouvons remplacer pour le calcul de 3
3=2×=1×=2=1=2 1



Nous pouvons également remplacer 3 par 2 1 dans le calcul de la puissance suivante :
4=3×=2 1 ×=2 2=2 1 =3 2 5=4×=3 2 ×=3 22 =3 1 2=5 3 6 =5×=5 3 ×=5 23 =5 13 =8 5

... Si l'on observe attentivement les résultats obtenus, on peut remarquer la

présence de la suite de Fibonacci (vue plus loin) : 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8... selon laquelle on additionne deux chiffres à la suite pour obtenir le suivant. Ainsi, pour calculer une puissance, il suffit de connaître les deux puissances qui la précèdent, ce qui estexactement le même procédé que pour la construction de la suite de Fibonacci. 4-Fractions proches du nombre d'or et de la suite de Fibonacci Soit x = . Reprenons l'équation x 2− x−1=0 vue précédemment et sa solution
x=1  1 x .

On peut alors reporter indéfiniment l'expression de x obtenue à la place du x situé au dénominateur. Voici ce que l'on observe en remplaçant le x au dénominateur pardes entiers successifs :
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 =8/5

1 1 =2 1

1

1 1 1 1

=3 /2

1

=5 /3

1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

=13/8

1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

=21/13

Encore une fois, tous ces rapports se rapprochent inexorablement du nombre d'or et présentent les nombres de la suite de Fibonacci vue ci-après.

III-La suite de Fibonacci La suite deFibonacci s'obtient en additionnant deux nombres précédents de cette suite. Application numérique : en partant de 0 et 1, on a 0 ; 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5... Pour obtenir 2, nous avons additionné 1 et 1, pour 3, nous avons ajouté 2 à 1, etc. Mathématiquement, cela se traduit par F n=F n−1F n−2 , relation que nous pouvons récapituler dans le tableau ci-dessous

n
Fn

1 1

2 1

3 2

4 3

55

6 8

7 13

8 21

9 34

10 55

11 89

12 144

... ...

Lorsqu'on observe le rapport

F n 1 soit Fn

F2 F3 F 4 1 2 3 5 ; ; ; ; ... , on ; ; ; ... ou encore 1 1 2 3 F1 F2 F 3

remarque que les résultats, sans jamais être égaux, se rapprochent sans cesse du nombre d'or. De plus, ils sont en alternance soit supérieurs soit inférieurs à  . Nous rappelons que F2 =1 ...
tracking img