EPFL Institut de Math´matiques e J.-F. Hˆche e

´ ` MATHEMATIQUES DISCRETES IN HIVER 2005/2006

´ ´ CORRIGE DE LA SERIE D’EXERCICES 1 Probl`me 1 e a) Forme canonique : Maximiser z = s.c. 2x1 1 3 x1 − 1 x1 3 −2x1 x1 x1 − x+ 2 + x+ 2 − x+ 2 + 5x+ 2 + x+ 2 , x+ 2 + x− 2 − x− 2 + x− 2 − 5x− 2 − x− 2 , x− 2

≤ 2 ≤ −2 ≤ 7 ≤ 4 ≥ 0

avec x2 = x+ − x− . 2 2 Forme standard : Maximiser z = s.c. 2x1 1 3 x1 −2x1 x1 x1 − x+ 2 + x+ 2 + + 5x2 + x2 , x+ 2 + x− 2 − x− 2 − − 5x2 + x3 − x− + x4 2 , x− , x3 , x4 2 = = = ≥ 2 7 4 0

toujours avec x2 = x+ − x− . 2 2 b) Forme canonique : Maximiser z = 3x1 ¯ s.c. −x1 +
1 − 2 x2 −4x− 2 4x− 2 x− 2

x1 avec x2 = −x− et z = −¯. z 2 Forme standard : Maximiser z = 3x1 ¯ s.c. x1 − x1 toujours avec x2 = −x− et z = −¯. z 2 c) Forme canonique : ,

,

− x3 + 3x3 + x3 − x3 , x3

≤ −2 ≤ 5 ≤ −5 ≥ 0

1 − 2 x2 −4x− 2 x− 2

− x3 − 3x3 − x4 = 2 + x3 = 5 , x3 , x4 ≥ 0

Maximiser z = −2x1 ¯ s.c. 2x1 −2x1 x1 x1 avec x2 = x′ − 3 et z = −¯. z 2 1

+ 3x′ 2 − x′ 2 + x′ 2 − 3x′ 2 , x′ 2

− ≤ ≤ ≤ ≥

9 5 1 8 0

Forme standard : Maximiser z = −2x1 + 3x′ ¯ 2 s.c. 2x1 − x′ 2 −x1 + 3x′ − x3 2 x1 , x′ , x3 2 toujours avec x2 = x′ − 3 et z = −¯. z 2 Probl`me 2 e Soient les variables de d´cision : e x1 : nombre de litres d’essence de bergamote produits en une semaine avec traitement des d´chets, e x2 : nombre de litres d’essence de bergamote produits en une semaine sans traitement des d´chets. e On obtient le probl`me suivant : e Maximiser z = −0.4 · 5x1 − 15(0.4 · 0.2x1 + 0.4x2 ) + 110(x1 + x2 ) − 20(x1 + x2 ) s.c. 0.4x1 ≤ 8000 0.4 · 0.2x1 + 0.4x2 ≤ 2800 x1 , x2 ≥ 0 Apr`s simplification et mise sous forme d’un programme lin´aire : e e Minimiser z = −86.8x1 − 84x2 s.c. 0.4x1 − 8000 ≤ 0 0.08x1 + 0.4x2 − 2800 ≤ 0 x1 , x2 ≥ 0 Probl`me 3 e Le plan de production de l’entreprise doit pr´ciser le ¡¡ volume ¿¿ des quatre op´rations possibles : e e 1. presser des olives pour obtenir de l’huile A ; 2. presser des olives pour obtenir de l’huile B ; 3.