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Le rire fait-il vendre?

2017 mots 9 pages
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écricome 2003 option économique : corrigé rapide

exercice 1
1.1.1 ( est valeur propre de f ssi A ( (I n'est pas inversible. En effectuant les opérations L1 ( L2, puis L2 ( L2 ( (3 ( ()L1, on obtient la matrice
[pic]
((2 +3( ( 2 = 0 ( ( = 1 ou ( = 2 ; 2 ( ( = 0 ( ( = 2.
Les deux valeurs propres de f sont donc (1 = 1, (2 = 2.
2. A est inversible car 0 n'est pas valeur propre de A.
3. Pour (1 = 1, le sous espace propre associé à pour base (1, 1, 0), pour dimension 1.
Pour (1 = 2, le sous espace propre associé à pour base (2, 1, 0), pour dimension 1.
4. La somme des dimensions des sous-espaces propres de f n'est pas égale à 3, donc f n'est pas diagonalisable.
5. u1 = (1, 1, 0).
6. u2 = (2, 1, 0).
7. x u1 + yu2 + z u3 = 0 est équivalent assez rapidement à x = y = z = 0 ; C est donc une famille libre de E, qui est de dimension 3. C est donc une base de E.
8. Par définition de P,
[pic]
La matrice de passage de C à B est la matrice P(1 et la méthode du pivot aboutit à
[pic]
9. f(u3) = (4, 3, 2), et u2 + 2u3 = (4, 3, 2) : OK.
10. f(u1) = u1, f(u2) = 2u2, f(u3) = u2 + 2u3, donc...
11. Théorie du changement de base : A = P T P(1.
12. Récurrence : la propriété à établir est vraie pour n = 1 avec ( = 1, et si elle est vraie pour n fixé dans N, alors
[pic]
elle est vraie pour n +1, avec (n+1 = 2n + 2(n. D'où la conclusion.
13. Le premier résultat s'établit par récurrence : 1(21(1 = 1 = (1, et si (n = n(2n(1 pour n fixé dans N*, alors (n+1 = 2n + 2 n 2n(1 = 2n + n 2n = 2n(n + 1).
Pour le deuxième, contentons-nous d'écrire : An = (PTP(1) (PTP(1) ... (PTP(1) = P Tn P(1.
1.2.1. La matrice nulle O appartient à C(A) car AO = OA.
Soit M, M ' deux matrices de C(A) ; alors A(M + M ') = AM + AM' = MA + M'A = (M + M ')A, donc M + M ' appartient à C(A).
Soit M appartenant à C(A) et x appartenant à R ; alors A(xM) = x(AM) = x(MA) = (xM)A, donc xM appartient à C(A).
On en conclut que C(A) est un sous-espace vectoriel de M3(R).
2. M ' = P(1 M P, donc M = P M '

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