A. Le saros (retour d’une éclipse)

Après une éclipse donnée, pour qu’une nouvelle éclipse de même nature et se produisant dans les mêmes conditions ait lieu, il est nécessaire qu’un intervalle de temps qui permette à la fois le retour d’une même phase et un passage au même noeud, se produise.
Mathématiquement, cela se traduit par une durée qui sera le plus petit multiple commun à la période synodique et à la période draconitique. En d’autres termes, cet intervalle de temps d (exprimé en jours) doit satisfaire à la fois aux deux conditions suivantes : d = 29,530 588 853´ n et d = 27,212 220 317 ´ m, où n et m sont des entiers.
Remarque
Cette recherche s’apparente à celle d’un PPCM. La différence provient de ce que le PPCM est défini dans l’ensemble des entiers, alors que dans le cas qui nous occupe ici, les périodes synodiques et draconitiques sont des réels quelconques. En raison de cette différence, la méthode de recherche du plus petit multiple commun aux deux périodes ne pourra s’effectuer par une décomposition en produits de facteurs premiers, comme dans le cas du PPCM.

Calcul d’une valeur de d
On remarque que si n = 242, alors d = 27,212 220 317 ´ 242 = 6 585,357 316 714 et que si m = 223, alors d = 29,530 588 853´ 223 = 6 585,321314 219.
On constate que la partie entière est commune à ces deux résultats, ce qui est également vrai pour la première décimale.
Un calcul précis de d se fait en résolvant l’équation aux inconnues entières m et n (décomposition de réels en fractions continues1) :
S ´m = D ´ n, où S représente la période synodique, et D la période draconitique.
Interprétation de la partie commune de d
6 585,3 est une valeur approchée exprimée en jours : il y a donc 6 585 jours + 0,3 jour qui vont séparer deux éclipses de même nature et se produisant dans les mêmes conditions. Or la valeur en jours (solaires moyens) de l’année est : 365,2596. Cherchons combien il y a d’années contenues dans 6585,3 jours : 6 585,3: 365,2596 = 18,029