Le sous sol africain

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  • Publié le : 8 octobre 2010
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L’aiguille de Buffon
C’est en 1777 qu’a lieu la première apparition inattendue du nombre π en calcul des probabilités. Le comte Leclerc de Buffon (plus connu comme naturaliste) soulève le problème suivant : « si on lance une aiguille de longueur ℓ sur un parquet dont les lames sont de largeur a , quelle est la probabilité p pour que l’aiguille tombe à cheval sur 2 lames ? ». Vocabulaire Pourrésoudre ce problème, adoptons un vocabulaire probabiliste : • • • • un lancer d’aiguille est appelé expérience aléatoire, l’ensemble des lancers d’aiguille possibles est noté une application X au départ de , c’est notre espace de probabilité, est appelée variable aléatoire.,

la valeur moyenne d’une variable aléatoire X est appelée espérance de celle-ci et est notée E (X ) .

Par exemple,l’application X , qui à un lancer ω associe 1 s’il y a chevauchement et 0 sinon est une variable aléatoire (dite de Bernoulli, car elle ne prend que pour seules valeurs 0 et 1). Son espérance est (1− p )× 0 + p ×1 = p car elle prend la valeur 0 avec la probabilité 1− p et la valeur 1 avec la probabilité p . Résolution du problème Dans premier temps on suppose ℓ ≤a et on se donne  a Posons d ∈  0,  ladistance du milieu de l’aiguille à la lame la plus proche et posons  2  un un a lancer ω.

 π π θ ∈ − ,  une mesure de l’angle que fait l’aiguille avec la direction ℓ 2  2 2  orthogonale à celle des lames. Les applications ω ֏ d et ω ֏ θ sont des variables aléatoires. Celles-ci sont susceptibles de prendre n’importe quelles  a  π π d valeurs dans les intervalles respectifs 0, et − ,  sans qu’aucunes de ces  2   2 2  valeurs ne soient plus probables que d’autres (on dit que ce sont des variables aléatoires uniformes). Lorsque d et θ sont connus, nous pouvons assurer qu’il y a aura chevauchement ssi Traçons alors la courbe Γ représentant le fonction θ ֏  π π  a  P = − ,  ×  0,  .  2 2   2  A un lancer d’aiguille correspond un point de coordonnées(θ , d ) dans P . Il y aura chevauchement ssi ce point est en dessous de la courbe Γ . Puisque la variable aléatoire ℓ ֏ (θ, d ) est uniforme, la probabilité p de chevauchement est égale à l’aire sous la courbe Γ (les cas favorables) divisée par l’aire du pavé P (les cas possibles). Ainsi : −π 2 ℓ π2 ∫−π 2 cos θ dθ 2ℓ = . p= 2 a πa π× 2 Supposons maintenant que ℓ > a . Le raisonnement qui précèdereste encore valable, mais la courbe Γ sort désormais du pavé. Pour déterminer l’aire sous la courbe incluse dans le pavé il faut évaluer les Γ ℓ cos(θ ) ≤ d . 2

θ

ℓ cos θ à l’intérieur du pavé 2 a 2

d

θ
O

d
a 2 Γ

π 2

θ 1/3 −π 2 −α

O

α

π 2

a  abscisses −α < α pour lesquels Γ intercepte le segment supérieur du pavé. On obtient α = arccos   et alors   ℓ  ℓ −α a ℓ π2 ∫−π 2 cos θ dθ + 2α 2 + 2 ∫α cos θ dθ 2ℓ(1− sin α) + 2aα p= 2 = a πa π× 2 Extension Lorsque l’aiguille a une longueur ℓ ≥ a , celle-ci est susceptible de chevaucher plusieurs lames... Nous allons déterminer le nombre moyen de lames chevauchées. Pour cela introduisons la variable aléatoire X donnant le nombre de lames chevauchées à chaque lancer et déterminons son espérance E (X )qui correspond au nombre moyen cherché. Cette espérance peut se voir comme une fonction de ℓ , ce qui permet d’écrire E (X ) = f (ℓ ) avec f : [0, +∞[ → ℝ . Lorsque ℓ ∈ [0,a ] , X se confond avec la variable de Bernoulli présentée dans la portion vocabulaire dont l’espérance E (X ) vaut p avec p que nous avons vu égal à 2ℓ 2ℓ pour tout ℓ ∈ [0,a ] . . Par suite f (ℓ ) = πa πa

Considéronsmaintenant deux aiguilles de longueurs ℓ 1 et ℓ 2 dont on accole les extrémités pour former une troisième aiguille de longueur ℓ 3 = ℓ 1 + ℓ 2 . On a X 3 = X1 + X 2 en notant Xi le nombre de chevauchement associé à la i
ème

aiguille. L’espérance étant linéaire, on a : E (X 3 ) = E (X1 ) + E (X 2 ) 2ℓ pour tout ℓ ∈ ℝ + ce qui πa

(prosaïquement : la valeur moyenne d’une somme est la somme des...
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