Probabilités : explication de la théorie

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Espace probabilisé.
Une expérience aléatoire est une expérience qui peut être répétée et dont on ne peut pas prévoir l’issue.

Exemple : Résultat du lancé d’un dé à six faces, temps d’attente du bus 4 place Pie à 16 heures, nombre d’éléments défectueux dans une chaine de montage chaque jour . . . Modélisation théorique : Il s’agit de définir l’ensemble des issues possibles de l’expérience : On notera Ω cet ensemble que l’on appellera « univers des possibles ». Ensuite pour toute issue, ou pour toute réunion d’issue, c’est à dire pour tout événement, on associera un nombre réel positif : On notera p la fonction ainsi définie, notée p. On fera en sorte que la somme des probabilités de chaque élément de Ω soit égale à 1 : en effet, on peut considérer que l’ensemble des issues Ω est un événement certain. Exemple : On jette un dé à six faces. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.     Ω −→ R+  p:     x −→ p(x)

avec

p(1) = p(2) = p(3) = p(4) = p(5) = p(6) =

1 . 6

La difficulté théorique démarre ici : Si l’on considère l’événement : "résultat impair" E = {1, 3, 5}, comment définir p sur E ? En effet, on a défini une fonction sur des éléments de Ω et pas sur des ensembles . . . Il s’agit pour cela d’introduire une nouvelle notion mathématiques : Soit Ω un ensemble, on note P(Ω) l’ensemble de tous les sous ensembles de Ω

Exemple : Si Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, on aura : P(Ω) = {∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, . . .{1, 2, 3}, . . . {1, 2, 3, 4, 5, 6}}. Ces sous ensembles sont classés par « taille »pour la relation d’inclusion (∅ est inclus dans tous les sous ensembles de Ω alors que Ω les contient tous. On définira p sur P(Ω) en considérant que pour deux événements E et F incompatibles, c’est à dire tels que E ∩ F = ∅, on a p(E ∪ F ) = p(E) + p(F ). Soit Ω un univers d’éventualités. On définit une probabilité sur Ω en choisissant une fonction p ayant les propriétés suivantes : 1. p : P(Ω) −→ R+ 2.
xi