Chaînes de Markov
Arthur Charpentier
École Nationale de la Statistique et d’Analyse de l’Information - notes de cours à usage exclusif des étudiants de l’ENSAI - ne pas diffuser, ne pas citer -

1
1.1

Quelques motivations
La sentinelle de la tour carrée

Lors d’une ronde, une méthode simple pour “tromper l’ennemi” est d’avancer ou reculer de manière aléatoire, en tirant à pile ou face. Comme précédement, si Xn désigne la position du garde à l’instant n, l’évolution peut se modéliser à l’aide d’une matrice de transition, /N/ /E/ /S/ /O/ 0 1/2 0 1/2 N  1/2 0 1/2 0  P = E   S  0 1/2 0 1/2  1/2 0 1/2 0 O

1.2

Le système bonus-malus en assurance auto

A Hong Kong, il existe 6 classes de tarification, de 1 (fort bonus) à 6 fort malus • si un assuré n’a pas eu de sinistre, il passe de i à max{1, i − 1}, • si l’assuré a eu au moins un sinistre, il passe de i à 6. Si p est la probabilité de ne pas avoir  p 0  p 0   0 p P =  0 0   0 0 0 0
Proportion par classe en fonction de n, p=90%
1.0 1.0

de sinistre, 0 0 0 p 0 0 0 0 0 0 p 0 0 0 0 0 0 p

1−p 1−p 1−p 1−p 1−p 1−p

       

Proportion par classe en fonction de n, p=80%

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

• si un assuré n’a pas eu de sinistre, il passe de i à max{1, i − 1}, • si l’assuré a eu k sinistres, il passe de i à min{6, i + k}. Si le nombre de sinistres suit une pk = p0 + ... + pk ,  p0  p0   0 P =  0   0 0
1.0

loi de Poisson pk = P(N = k) = e−λ λk /k!, k ∈ N, et p1 p2 0 p1 p0 0 0 p0 0 0 0 0 p3 p2 p1 0 p0 0 p4 p3 p2 p1 0 p0 1 − p4 1 − p3 1 − p2 1 − p1 1 − p0 1 − p0        

Proportion par classe en fonction de n, 10%
1.0

Proportion par classe en fonction de n, 35%

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

1.3

La ruine d’un joueur

Deux joueurs jouent à pile ou face, chaque fois que X gagne, il touche 1 de Y , et réciproquement. Ils partent respectivement d’un capital X0 et Y0 , et le jeu s’arrête