Les equations differentielles

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Cours sur les équations différentielles
IUP génie civil, première année
20 mars 2003

Version sans dessin

Alexandre MIZRAHI

Université de Cergy Pontoise

Table des matières
1 Équations différentielles linéaires 1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Équation différentielle du premier ordre . . . . . . . . 1.3 Équation différentielle linéaire d’ordre 2 . .. . . . . . 1.3.1 Cas des coefficients constants . . . . . . . . . 1.3.2 Cas des coefficients quelconques . . . . . . . . 1.4 Équation différentielle linéaire à coefficients constants 1.5 Théorèmes généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . Équation différentielle d’ordre 1 2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . 2.3 Équationsdifférentielles à variables séparables 2.4 Différentielle totale . . . . . . . . . . . . . . . 3 . 3 . 4 . 6 . 7 . 8 . 10 . 11 14 14 14 14 17 19 19 20 20 21 22 23 23 24 24 25 28 28 28 30 31 32 32 32 36

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Résolution approchée d’équations différentielles du premier ordre 3.1 Méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Convergence de la méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Prérequis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Méthode de Runge Kutta . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . Système d’équations différentielles 4.1 Généralités: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Cas des coefficients constants: résolution matricielle . 4.3 Forme des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Utilisation d’un opérateur différentiel D . . . . . . .

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Introduction aux équations auxdérivées partielles 5.1 Rappels et mise en garde . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 EDP linéaires d’ordre 1 à coefficients constants . . . . . . 5.3 EDP linéaire d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Méthode des caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 EDP linéaires d’ordre deux . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . .5.5.2 Cas des coefficients constants, sans second membre

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6 Exercices

2 Chapitre 1

Équations différentielles linéaires
1.1 Généralités
Dans ce cours la solution d’une équation différentielle (E) est une fonction autant de fois dérivable que nécessaire, définie sur un intervalle, de R et qui vérifie (E) Exemple 1.1 la fonction exponentielle est une solution sur R de l’équation différentielle y − y = 0. Exemple 1.2 La fonction définie par
1 x

est une...
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