les fantaisies

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Système de n équations à n inconnues
a11x1 a12x2
a21x1 a22x2

a1 x
n
a2 x
n

an1x1 a 2x 2
n

an n xn bn

Ecriture
matricielle
du
système

a1 1
a 21

n

b1
b2

a1 2
a 22

a n1

n

an2
m a tric e d u s y s tè m e A

a1
n
a2
n
a

nn

x1
x2

b1
b2

xn

bn

v e c te u r in c o n n u x

s e c o n d m e m b re
b

Exemples dans

1
1

2
1R

x1

2:

4
2

x2

R2

solution unique

1

2

x1

2

4

x2

=

p a s d e s o lu t i o n

4
5

1
1

2
2

x1
x2

s y s tè m e m a l c o n d itio n n é

3
3

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
mathématicien allemand
Le principe de cette méthode de passer d’un système plein à un
autre triangulaire qui lui est équivalent :

25

5

1

x1106.8

64 8 1
144 12 1

x2
x3

177.2
279.2

25

5

0
0

4 .8
0

1

x1

106.8

1.56
0 .7

x2
x3

96.21
0.735

1ère étape de la méthode
a
a

(
1
(
2
(
3

a

Pivot

(1 )
n1

a

1 )
1
1 )
1
1 )
1

(1)
21

a

(1 )
1 2

(1)
11

eq u 3

(1)
(1)
a31 / a11

a

/a

(1)
11

/a

(1 )
2 2
(1 )
3 2

a
a

(1 )
2 3(1 )
3 3

a

a

equ n

n

a
a

equ 2

(1)
n1

a 1( 13 )

(1 )
n 2

a

(1 )
n 3

(1)
11

a
equ1
0
equ1 0
equ 1

0

n
n

x a 1( 1 )
1
x 2 a (2 1
x 3 a 3( 1
x

a

b
)
)

(1 )
n n

n

a
a

a
a
a

(1)
13
( 2)
23
( 2)
33

a
a

a

(1)
12
( 2)
22
( 2)
32

a

(1)
1
n
( 2)
2n
( 2)
3
n

a

( 2)
n2

a

(2)
n3

a

( 2)
nn

b

x1
x2
x3
xn

(1)
1
( 2)
2
( 2)
3

b
b
b

( 2)
n

b

6

2ème étape de la méthode
a 1( 1 )
1

a 1( 1 )
2

a 1( 13 )

0
0

equ3
equn

2
a 2( 2 )
2
a 3( 2 )

2
a 2( 3 )
2
a 3( 3 )

0

Pivot

a n( 2 )
2

a 2(n)3

(2)
(2)
a32 / a22 equ2

a

(2 )
n2

a 1( 1 )x 1
n
(
a 22 ) x 2
n
a 3( 2 ) x 3
n

/a(2)
22

equ2

b 1( 1 )
(
b 22 )
(
b32 )

(
a2n)n x n

b

(2)
n

(1)
a11
0
0

(1)
a12
(2)
a22
0

(1)
a13
(2)
a23
(3)
a33

a1(1)
n
(2)
a2 n
(3)
a3n

x1
x2
x3

b1(1)
(2)
b2
b3(3)

0

0

(3)
an 3

(3)
ann

xn

bn(3)
7

A la fin, on obtient un système triangulaire supérieur
a 1( 1 )
2

0

2
a 2( 2 )

2
a 2( 3 )

0

0a 3( 3 )
3

0

0

1
0 a n( n 1 n ) 1

0

0

0

La remontée

1
a 1( 1 )

xn
xi

a 1( 1 )
3

a 1( 1 ) x 1
n
) (2
x2
na2
a 3( 3 )
n

0

1
a n( n 1 n )

b 1( 1 )
b 2( 2 )
b 3( 3 )

x3
xn

1

a n( n )
n

xn

xki

1,n

b n( n 1

1)

b n( n )

b n( n )
a n( n )
n
1
a

(i )
ii

n

b i( i )

a i(ki )
k i 1

2n
,

, 18 Algorithme de Gauss
P o u r k = 1 ,...,n
P o u r i = k + 1 ,...,n
a i(kk )
; b i( k
a k( kk )

w ik

1)

b

(k)
i

b w i k(k k )

;

xk i

n,
1

P o u r j = k ,. ..,n
a i(j k

1 )

a i(jk )

w i k a k( jk )

La remontée

F i n ( j ); F i n ( i ) ;F i n ( k );
xn

b n( n )
(
a nn )
n

xi

1
b i( i )
a i(ii )

n
(
a iki )
k i 1

n,
2

,1

9 Pivotement partiel
Il s’agit de la méthode d’élimination de
Gauss où à chaque étape k, on choisis
(k )
le pivot a i de plus grande valeur
k
absolue parmis les a i( kk ) pour i=k,…,n
m a x

a

(k )
im a x k

m ax
k

i

n

a

(k )
ik
è m

On pivote l’équation k avec la i m

e

a x

(1)
a11
0

(1)
a12
(2)
a22

(1)
a13
(2)
a23

a1(1)
k
(2)
a2 ka1(1)
j
(2)
a2 j

a1(1)
n
(2)
a2 n

0

0

(3)
a33

(3)
a3 k

(3)
a3 j

(3)
a3 n Échange des

équations

0

0

0

(k
akk )

(
akjk )

(k
akn )

0

0

0

k)
ai(max k

k)
ai(max j

k)
ai(max n

0

0

0

(k
ank )

(
anjk )

(k
ann )

La plus grande en valeur absolue
11

Exemple
Considérons le système suivant

10x1 7 x2...
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