Les fractales dans la nature

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  • Publié le : 17 mai 2010
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Introduction

« Il est bien connu que décrire la Terre fut un des premiers problèmes formels que l’Homme se soit posés. Aux mains des Grecs la « géo-métrie » (de géo -la Terre- et metron –mesure), donna jour à la géométrie mathématique. Cependant – comme il arrive bien souvent dans le développement des sciences ! – La géométrie mathématique oublia très vite ses origines, ayant à peinegratté la surface du problème initial »

Les objets fractals B. MANDELBROT.

La géométrie euclidienne que les Grecs nous ont léguée a été pendant des siècles le pilier des mathématiques. Cependant, bien qu’ayant permis d’élucider certains mystères, elle conserve de nombreuses failles dans l’étude d’objets ne correspondant pas aux notions de droite, de plan, de longueur et d'aire formantle support des cours de géométrie élémentaire.
En s’appuyant sur de nombreuses recherches effectuées par divers mathématiciens avant lui, Benoît Mandelbrot démontre dans les années 1970 la présence d’une nouvelle famille d’objets mathématiques aux propriétés étonnantes permettant une représentation plus réaliste du Monde : Les fractales.

Que sont donc les fractales,
en quoi peuvent-elles nouspermettre d’expliquer et même de modéliser
certains phénomènes naturels ?

Nous essayerons de répondre à ces interrogations au cours de ce TPE.

I/ Des limites de la géométrie euclidienne à la Naissance des fractals

A/ fondements et limites de la géométrie euclidienne.

1) Des figures définies et des postulats

Avant de pouvoir déterminer les limites de la géométrie euclidienne, ilfaut d’abord être en mesure d’en expliquer les fondements. Pour commencer, Euclide dans son premier livre a défini les notions de nombreuses figures mathématiques qui seront les fondations de ces célèbres postulats. En voici les plus importantes :

- un point est ce dont la partie est nulle.
- Une ligne (ou courbe) est une longueur sans largeur.
- Les extrémités d’une surfacesont des lignes.
- Une surface plane est celle qui est également placée entre ces droites.
- Lorsqu’une droite tombant sur une autre droite forme deux angles adjacents égaux entre eux, chacun des angles égaux est droit, et la droite placée au-dessus est dite perpendiculaire à celle sur laquelle elle est placée.
- Un cercle est une figure plane, comprise par une seule ligne quel’on nomme circonférence constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre.
- Les parallèles sont des droites qui, étant situées dans un même plan et étant prolongées à l’infini de part et d’autre, ne se rencontrent ni d’un côté ni de l’autre.

Ensuite, ayant défini ces figures, Euclide pose plusieurs postulats (postulats = Principes qui doivent être admis comme vraisans démonstrations) :

- Par deux points distincts, il passe une droite et une seule.
- Tout segment est prolongeable par une droite.
- Soit deux points distincts donnés, il existe un cercle et un seul passant par le premier point et ayant comme centre le second.
- Tous les angles droits sont égaux entre eux.
- Par un point distinct (extérieur) à une droite, ilpasse une droite et une seule parallèle à la droite donnée. Voir ci dessous :

A C
(

B

Euclide base ces postulats des notions de figure prédéfinies comme les droites, les surfaces, les pointsetc. On peut donc parler d’objets parfaits aux propriétés définies. La géométrie euclidienne demande une certaine abstraction d’une part, et d’autre part l’acceptation d’axiomes non démontrés.

Mais ces « figures parfaites » à la base destinées à l’étude du monde qui nous entoure ne semblent pourtant pas répondre à toutes les attentes des mathématiciens concernant l’étude d’objets...
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