Synthèse de cours (Terminale ES) Continuité, limites
Continuité
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dira que « f est continue sur I » si l’on peut tracer sa courbe représentative sans lever le crayon.

Exemples fondamentaux
Les fonctions polynômes (dont les fonctions affines), la fonction racine carrée, les fonctions rationnelles (dont la fonction inverse) sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition.

Le théorème des valeurs intermédiaires
Soit f une fonction définie sur un intervalle [ a; b ] et soit k un réel compris entre f ( a ) et f (b ) .

Si f est continue sur [ a; b ] alors il existe un réel c appartenant à [ a; b ] tel que : f ( c ) = k (voir figure de gauche ci-dessous). Si, de plus, f est strictement monotone sur [ a; b ] alors le réel c est unique (voir figure de droite ci-dessous).

f (a)

f (b)

k f (b)

k f (a)

a

c

b

a

c

b

PanaMaths

[1-5]

Août 2006

Limite d’une fonction
Limite d’une fonction continue en un point de l’ensemble de définition
Soit f une fonction d’ensemble de définition D f . Soit a un élément de D f . On suppose qu’il existe un intervalle I contenant a et contenu dans

D f sur lequel f est continue.
On a alors : lim f ( x ) = f ( a ) x→a Limites de fonctions de référence (Rappels de 1ère)
• Fonction affine : x ax + b o Si a > 0 , on a : lim ( ax + b ) = +∞ et lim ( ax + b ) = −∞ ; o Si a < 0 , on a : lim ( ax + b ) = −∞ et lim ( ax + b ) = +∞ . x →+∞ x →−∞ x →+∞ x →−∞

•

Fonction carrée : x x2 o lim x 2 = lim x 2 = +∞ ; x →+∞ x →−∞

•

Fonction cube : x x3 o lim x 3 = +∞ ; x →+∞ x →−∞

o •

lim x 3 = −∞ .

Fonction racine carrée : x o lim x = +∞ ; x →+∞

x

•

Fonctions inverses : x o o o

1 x−a

lim x→a x >a

1 = +∞ ; x−a

lim
x→a