Limites et asymptotes
A Limites et infini
Soit f une fonction.

1- Limite infinie en l'infini
Lorsque f (x) peut être rendu supérieur à tout réel positif A pour x suffisamment grand, on dit f  x=∞ . que f (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ . On écrit alors xlim
∞
On définit de manière similaire : lim f  x=−∞ ( f (x) devient inférieur à – A),
•
x ∞
•
•

lim f  x=∞ ( x doit être suffisamment grand en valeur absolue mais négatif)

x −∞

lim f  x=−∞ .

x −∞

Résultats à retenir n • en +∞ : pour tout entier n supérieur à 0 lim x =∞ ; lim x ∞

x ∞

•

x=∞ .

n x =∞ ; en –∞ : si n est un entier positif pair, alors xlim
−∞

x n=−∞ . mais si n est un entier positif impair, alors xlim
−∞

2- Limite finie en l'infini
Lorsque f (x) peut être rendu aussi proche qu'on le désire d'un réel L pour x suffisamment f  x=L . grand, on dit que f(x) tend vers L lorsque x tend vers +∞ . On écrit alors xlim
∞
On définit de manière similaire lim f  x=L . x −∞

Résultat à retenir
1
1
=0 et lim n =0 . n x ∞ x x −∞ x

Pour tout entier n supérieur à 0, lim

Asymptote horizontale f  x=L ou lim f  x=L , la courbe représentative de f admet la droite
Lorsque xlim
∞
x −∞ d'équation y = L comme asymptote horizontale; cela signifie que lorsque x tend vers +∞ ou vers -∞, la courbe se rapproche de plus en plus de la droite.

3- Limite infinie en x0
Lorsque f(x) peut être rendu supérieur à tout réel positif A pour x suffisamment proche d'un f x =∞ . réel x0, on dit que f(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers x0. On écrit alors xlim
x
0

f x =−∞ .
On définit de façon similaire xlim
x
0

Résultats à retenir
•

sur ]0; +∞[, lim x 0

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1
1
=∞ , on écrit alors lim =∞ . x x 0 x
+

•

sur ]-∞; 0[, lim x0 1
1
=−∞ , on écrit alors lim =−∞ . x x 0 x
-

Asymptote verticale f x =∞ ou lim f x =−∞ , la courbe représentative de f admet