´ LOIS DE PROBABILITE USUELLES
Dans cette note est faite une liste des lois de probabilit´ usuelles sur Ê — voire Ên — ou e sur une de ses sous-parties ainsi que quelques unes de leurs propri´t´s (moyenne, variance, ee fonction caract´ristique). Qualifier ces lois de probabilit´ d’usuelles signifie qu’elles doivent e e ˆtre connues de tous et non qu’elles seraient les seules qu’on puisse rencontrer dans un e probl`me, un exercice et surtout dans une situation concr`te. De nombreuses propri´t´s sont e e ee donn´es sans d´monstration. Elles peuvent ˆtre trait´es en exercice. e e e e 1. Lois discr`tes usuelles e 1.1. Mesures de Dirac ´ Definition 1. — Soient ÔE, E Õ un ensemble mesurable et x0 µ:E B

Ø0, 1Ù µÔB Õ

È E un point. L’application

1 0

si x0 È B, sinon,

est une mesure de probabilit´ sur ÔE, E Õ. Si le singleton Øx0 Ù est mesurable, l’application µ e est alors dite mesure de Dirac en x0 , ou encore masse de Dirac en x0 , et est not´e δØx0 Ù (la e e notation εØx0 Ù est aussi souvent employ´e). Une variable al´atoire X de loi la mesure de Dirac en x0 È E est presque sˆrement e u constante ´gale ` x0 et r´cipoquement : PX Øx0 Ù ÈØX x0 Ù 1. Lorsque E Ê, on a e a e

ÖX ×

x0 ,

VarÔX Õ

0,
1

ϕX Ôθ Õ

eiθX

eiθx0 .

Mesure de Dirac en x0 1

Fonction de r´partition e

0

x0

0

x0

On pourra prendre pour d´finition : e e e D´finition. — Soit ÔE, E Õ un espace mesurable s´par´ (tous les singletons sont mesurables). e e Toute loi discr`te sur ÔE, E Õ est combinaison barycentrique finie ou d´nombrable de mesures e de Dirac. 1.2. Lois de Bernoulli D´finition 2. — Soit p È Ö0, 1×. On appelle loi de Bernoulli de param`tre p la loi de e e e probabilit´ discr`te µ de support Ø0, 1Ù v´rifiant e e µØ0Ù 1¡p et µØ1Ù p.

2 Soit µ

Lois de probabilit´ usuelles e

Ô1 ¡ pÕδØ0Ù pδØ1Ù . Cette mesure est identifi´e par la notation BÔ1, pÕ. e
Loi de Bernoulli 1 p 1−p 0 0 1 1−p 0 0 1 1 Fonction de r´partition e

Une variable al´atoire X de loi la loi de Bernoulli de param`tre p È Ö0,