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1.a 1.b

u n est un endomorphisme de E et on sait qu’image et noyau d’un endomorphisme sont des sous-espaces vectoriels.

∀y ∈ Fn +1 = Im u n +1 , ∃x ∈ E tel que y = u n +1 (x ) donc y = u n (u (x )) ∈ Im u n = Fn . Ainsi Fn +1 ⊂ Fn .
∀x ∈ Gn = ker u n , on a u n +1 (x ) = u (u n (x )) = u (o ) = o donc x ∈ ker u n +1 = Gn +1 . Ainsi Gn ⊂ Gn +1 .

2.

F ⊂ E . Pour tout n ∈ ℕ, o ∈ Fn car Fn est un sous-espace vectoriel de E , donc o ∈ F .
Soit λ , µ ∈ ℝ et x , y ∈ F . Pour tout n ∈ ℕ , x , y ∈ Fn , or Fn est un sous-espace vectoriel de E donc λx + µy ∈ Fn et donc λx + µy ∈ F .

G ⊂ E . o ∈ G1 car u (o ) = o donc o ∈ G .
Soit λ , µ ∈ ℝ et x , y ∈ G . Il existe n , m ∈ ℕ tel que x ∈ Gn et y ∈ Gm . Posons p = max(n , m ) . On a Gn ,Gm ⊂ G p donc x , y ∈ G p . Or G pest un sous-espace vectoriel de E dont λx + µy ∈ G p puis λx + µy ∈ G . 2.b Soit x ∈ F . Pour tout n ∈ ℕ , on a x ∈ Fn donc u (x ) ∈ Fn +1 . Ainsi ∀n ∈ ℕ * , u (x ) ∈ Fn . De plus F0 = Im u 0 = Im Id = E , donc u (x ) ∈ F0 . Ainsi u (x ) ∈ Fn pour tout n ∈ ℕ et donc u (x ) ∈ F . Soit x ∈ G . Il existe n ∈ ℕ tel que x ∈ Gn c’est à dire tel que u n (x ) = o . Si n > 0 , alors u n −1 (u (x )) = odonc u (x ) ∈ Gn −1 puis u (x ) ∈ G . Si n = 0 , alors u 0 (x ) = o donc x = o car u 0 = Id . Mais alors u (x ) = o et donc u (x ) ∈ G . 2.c 3.a Si u est un automorphisme de E alors pour tout n ∈ ℕ , u n l’est aussi. On a donc Fn = E car u n surjectif et Gn = {o } car u n injectif. Au final F = E et G = {o } . Par récurrence sur p ∈ ℕ . Pour p = 0 : ok Supposons la propriété établie au rang p ≥ 0 .La suite (Fn ) est décroissante donc Fn + p +1 ⊂ Fn + p . Soit y ∈ Fn + p , ∃x ∈ E tel que y = u n + p (x ) . Or u n (x ) ∈ Fn = Fn +1 donc ∃a ∈ E tel que u n (x ) = u n +1 (a ) et donc

y = u p (u n (x )) = u p (u n +1 (a )) = u n + p +1 (a ) ∈ Fn + p +1 . Ainsi Fn + p ⊂ Fn + p +1 .
Par double inclusion, Fn + p = Fn + p +1 , puis par HR, Fn = Fn + p +1 . Récurrence établie. 3.b L’ensemble A ={n ∈ ℕ / Fn = Fn +1 } est une partie de ℤ , non vide (via l’hypothèse du 4.) et minorée, elle possède donc un plus petit élément. Puisque la suite (Fn ) est décroissante et stationnaire à partir du rang r (u ) donc F = 3.c

∩F
n ∈ℕ

n

= Fr (u ) .

Soit x ∈ E . On a u r (u ) (x ) ∈ Fr (u ) . Or Fr (u ) = F2r (u ) donc il existe a ∈ E tel que u r (u ) (x ) = u 2r (u ) (a ) . Posons alors y= u r (u ) (a ) et z = x − y . Clairement x = y + z et y ∈ Fr (u ) = F . De plus u r (u ) (z ) = u r (u ) (x ) − u r (u ) (y ) = u r (u ) (x ) − u 2r (u ) (a ) = o donc z ∈ Gr (u ) .

4.a

Par récurrence sur p ∈ ℕ . Pour p = 0 : ok Supposons la propriété établie au rang p ≥ 0 . On a déjà Gn +p ⊂ Gn + p +1 car (Gn ) est croissante. Soit x ∈ Gn +p +1 . On a u n +p +1 (x ) = o donc u p (x ) ∈ Gn+1 . Or Gn +1 = Gn donc u p (x ) ∈ Gn et donc u n +p (x ) = o i.e. x ∈ Gn +p . Aines Gn +p +1 ⊂ Gn +p . Par double inclusion Gn +p = Gn +p +1 . Par HR, Gn +p +1 = Gn . Récurrence établie.

4.b

Soit A = {n ∈ ℕ / Gn +1 = Gn } .

A est une partie de ℤ , minorée par 0 et par l’hypothèse de la question 3., non vide. Elle possède donc un plus petit élément. La suite (Gn ) est croissante etstationnaire à partir du rang s (u ) donc G = ∪ Gn = Gs (u ) .
n ∈ℕ

4.c

Soit x ∈ Fs (u ) ∩ G . Il existe a ∈ E tel que x = u On a alors u
2s (u )

s (u )

(a ) et on a u

s (u )

(x ) = o .

(a ) = u

s (u )

(x ) = o donc a ∈ G 2s (u ) . Or G 2s (u ) = Gs (u ) donc x = u s (u ) (a ) = o .

Ainsi Fs (u ) ∩ G ⊂ {o } , l’autre inclusion est aussi vraie car Fs (u ) et G sont dessous-espaces vectoriels donc Fs (u ) ∩ G = {o } . 5.a On sait déjà Gn ⊂ Gn +1 . Soit x ∈ Gn +1 . On a u n +1 (x ) = o .

u n (x ) ∈ Fn = Fn +1 donc ∃a ∈ E tel que u n (x ) = u n +1 (a ) . u n +1 (x ) = o donne alors u n +2 (a ) = o donc a ∈ Gn +2 = Gn +1 puis u n +1 (a ) = o i.e. u n (x ) = o .
Ainsi Gn +1 ⊂ Gn et finalement Gn = Gn +1 . 5.b On sait déjà Fn +1 ⊂ Fn . Soit y ∈ Fn . Il existe a ∈...
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