Les matrices - cours formation d'ingénieur
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Cours de mathématiquesLes matrices
1. Les matrices 2 1.1. Définition 2 1.2. Somme de deux matrices 2 1.3. Produit d’une matrice par un scalaire 2 1.4. Produit de 2 matrices 3 1.5. Matrice identité [pic] 4 1.6. Transposée d’une matrice 4 1.7. Déterminant d’une matrice carrée 5 1.8. Déterminant mineur : 5 1.9. Cofacteur 5 1.10. Calcul du déterminant 5 1.11. Les opérations sur les déterminants 6
2. Matrice inverse 7 2.1. Définition 7 2.2. Propriété 8 2.3. Calcul de la matrice inverse 8
3. Résolution des systèmes linéaires 11 3.1. Résolution matricielle 11
Les matrices
1 Définition
On appelle matrice, le tableau rectangulaire suivant :
[pic]
Ou [pic] avec [pic] n : nombre de lignes p : nombre de colonnes
On dit, A matrice de type (n,p)
Exp : [pic]
A est de type (2,3)
A est dite patrice carré d’ordre M si n=p
2 Somme de deux matrices
A et B deux matrices distinctes de type (n,p)
[pic] et [pic]
[pic]
Exemple :
[pic]
3 Produit d’une matrice par un scalaire
[pic] et [pic]
[pic]
Exemple :
[pic] [pic]
4 Produit de 2 matrices
Soit [pic] et [pic]
On définit le produit C=A.B (ou [pic] par :
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
( on multiplie la 1ère ligne de la premier matrice par la 1ère colonne de la deuxième matrice…etc…
➢ Si A.B est défini alors B.A ne l’est pas forcément ➢ (A+B)2=A2+AB+BA+B2 ➢ Si A.B et B.A existent, alors en générale, A.B[pic]B.A [A est de type (n,p) et B de type (p,n)] ➢ L’associativité : (A.B).C=A.(B.C) [Attention : respecter l’ordre !] ➢ Puissance d’une matrice : [pic] avec A est une matrice carrée
Exercices :
1) Calculer A+2B
[pic] [pic]
2) Calculer les produits :
a)[pic]
b)[pic]= No possible
c) [pic]
3) on considère la matrice
[pic]
Montrer que [pic]
[pic]
5 Matrice identité [pic]
C’est la matrice carrée d’ordre n définis par :
[pic]