Les matrices
Rang
1. Pour chacune des matrices A suivantes, d´terminer d’abord son rang rA . Trouver ensuite e une matrice B extraite de A carr´e (rA ,rA ) et de rang exactement rA . e 1 2 3 1 1 4 5 6 2 −4 2 −1 a) b) c) 7 8 9 −3 6 −4 5 0 1 0 0 1 0 1 1 −1 0 1 3 3 1 0 1 0 5 d) e) 1 0 1 f ) −1 1 0 1 0 1 2 1 3 1 −3 −9 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 3 −2 2 0 g) 0 1 1 2 2 h) 0 1 −1 1 2 −1 0 1 1 3 1 2 −3 4 1 0 1 0 1 1 1 1 1 −1 1 −2 0 1 1 2 3 −1 −1 −1 0 2 2 i) j) k) 1 1 2 3 4 2 0 1 0 1 −1 −4 −3 0 1 1 3 4 5 −1 3 −6 1 1 1 2 1 −1 1 2 1 1 2 3 2 6 3 −3 1 1 −1 −1 m) 3 1 2 3 2 −2 l) 2 1 1 1 4 2 3 5 3 −3 −1 1 1 −2 5 4 3 11 7 −6
2. Mˆmes questions que dans e param`tres : e a 1 1 a) 1 a 1 1 1 a 1 1 d) 0 0
l’exercice pr´c´dent, mais en discutant suivant les valeurs des e e 3 2 1 1 1 1 2 1 2 c) b + c c + a a + b 1 3 λ bc ca ab a2 a3 a b 0 1 b a 1 0 b2 b 3 e) 2 0 1 a b 2a 3a 2b 3b2 1 0 b a
b) a b 1 1
1
Produit
3. On donne les 4 matrices 1 −2 B= 3 −4 1 4 C= 7 0 2 5 8 1 3 6 9 0 1 0 −1 0 D = 2 −2 3 −3 . −1 2 −1 2
A = 1, 2, 3, 4
Quels sont les produits 2 ` 2 de ces matrices qui ont un sens? Effectuer ces produits. a 4. On donne les 3 matrices 2 1 0 A = −1 0 2 3 −1 1
B=
5 2 3 −1
C=
0 −1 0 −2 0 3
.
Calculer tous les produits 2 ` 2 qui ont un sens. a 5. On donne les 3 0 1 −1 0 A= 0 0 0 0 matrices 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 B= −1 0 0 −1 0 0 . 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 C= 0 −1
0 0 1 0 −1 0 , 1 0 0 0 0 0
1 0 et l’on rappelle que I = 0 0 V´rifier les relations : e
i) A2 = B 2 = C 2 = −I
, ii) BC = −CB = A ,
iii) CA = −AC = B
, iv) AB = −BA = C .
6.
Trouver pour tout entier positif n, la matrice 0 1 1 1 0 A= 2 0 1 1 0
An lorsque 0 1 1 0 . 0 1 1 0
7.