Les matrices

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MATRICES
Rang
1. Pour chacune des matrices A suivantes, d´terminer d’abord son rang rA . Trouver ensuite e une matrice B extraite de A carr´e (rA ,rA ) et de rang exactement rA . e     1 2 3 1 1 4 5 6 2 −4   2 −1 a) b) c)  7 8 9 −3 6 −4 5 0 1 0       0 1 0 1 1 −1 0 1 3 3 1 0 1 0  5 d)  e) 1 0 1 f ) −1 1 0 1 0 1 2 1 3 1 −3 −9 1 0 1 0     1 1 0 1 1 1 3 −2 2 0 g) 0 1 1 2 2 h) 0 1 −1 1 2 −1 0 1 1 3 1 2 −3 4 1       0 1 0 1 1 1 1 1 −1 1 −2 0 1 1 2 3 −1 −1 −1 0 2 2    i)  j)  k)  1  1 2 3 4 2 0 1 0 1 −1 −4 −3 0 1 1 3 4 5 −1 3 −6     1 1 1 2 1 −1 1 2 1 1 2 3 2 6 3 −3    1 1 −1 −1   m) 3 1 2 3 2 −2 l)    2 1 1 1 4 2 3 5 3 −3 −1 1 1 −2 5 4 3 11 7 −6

2. Mˆmes questions que dans e param`tres : e   a 1 1 a) 1 a1 1 1 a  1 1 d)  0 0

l’exercice pr´c´dent, mais en discutant suivant les valeurs des e e    3 2 1 1 1 1 2 1 2  c) b + c c + a a + b 1 3 λ bc ca ab    a2 a3 a b 0 1  b a 1 0 b2 b 3    e)  2 0 1 a b  2a 3a 2b 3b2 1 0 b a 

b) a b 1 1

1

Produit
3. On donne les 4 matrices  1 −2 B=  3 −4  1 4 C= 7 0  2 5 8 1  3 6  9 0  1 0 −1 0 D =  2 −2 3 −3 . −1 2−1 2 

A = 1, 2, 3, 4

Quels sont les produits 2 ` 2 de ces matrices qui ont un sens? Effectuer ces produits. a 4. On donne les 3 matrices   2 1 0 A = −1 0 2 3 −1 1

B=

5 2 3 −1

C=

0 −1 0 −2 0 3

.

Calculer tous les produits 2 ` 2 qui ont un sens. a 5. On donne les 3  0 1 −1 0 A= 0 0 0 0 matrices  0 0 0 0  0 −1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 B= −1 0 0 −1  0 0. 0 1



1 0 0 0

 0 1  0 0

0 0 C= 0 −1



 0 0 1 0 −1 0  , 1 0 0 0 0 0

 1 0 et l’on rappelle que I =  0 0 V´rifier les relations : e

i) A2 = B 2 = C 2 = −I

, ii) BC = −CB = A ,

iii) CA = −AC = B

, iv) AB = −BA = C .

6.

Trouver pour tout entier positif n, la matrice  0 1 1 1 0 A=  2 0 1 1 0

An lorsque  0 1 1 0  . 0 1 1 0

7.

Quellessont les matrices (2,2) A telles que AM = M A dans les cas suivants : 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 −1 0

M1 =

,

M2 =

, 2

M3 =

,

M4 =

.

Dans chacun des cas, peut-on toujours trouver λ et µ tels que A = λM + µI ? Est-ce toujours vrai pour toute matrice M ? 8. Effectuer le produit des deux matrices form´es de mots suivantes en omettant les signes e d’op´rations (RaymondQueneau 1964) e     le a le chat rat lion  un a un   mang´ d´vor´ d´gust´  . e e e e e le avait un poisson fromage touriste

Inverse
  0 1 −1 On donne A = 4 −3 4  . 3 −3 4

9.

Calculer A2 . En d´duire A−1 . V´rifier en inversant directement A. e e 10. par On note M (a,b,c,d) la matrice (4,4) d´pendant des 4 param`tres r´els a, b, c, d d´finie e e e e a b M (a,b,c,d) =  c d  b a dc c d a b  d c  b a

(1) Calculer le produit M (a,b,c,d)M (a ,b ,c ,d ). Que remarque-t-on? (2) Calculer le produit M (a,b,c,d)M (a,b, − c, − d). (3) Calculer le produit des quatre matrices M (a,b,c,d)M (a,b,−c,−d)M (a,−b,c,−d)M (a,−b,−c,d) (faire d’abord le produit des deux derni`res). e (4) Trouver un crit`re, portant sur a, b, c, d, pour que M soit inversible et proposer un calcul e deson inverse. 11. On donne les 2 matrices 

 2 4 3 A = 1 3 0  0 −1 1

  −3 8 −16 B = −3 7 −12 . −1 2 −3

Calculer AB et BA. D´terminer (AB)−1 et (BA)−1 . e 12. Calculer l’inverse des matrices suivantes :   1 2 −3 1 2 A= B = 0 1 2  2 5 0 0 1 3

 2 2 3 C =  1 −1 0 . −1 2 1



13.

Trouver l’inverse des  0 1 A1 = 0 0 1 0   1 2 3 A4 = 0 1 2 0 0 1

matricessuivantes :    0 0 1 1 1 A2 = 1 0 1 0 1 0 0  1 −2 3 4 A5 = −4 5 −3 2 −1 

 0 0 1 A3 = −1 0 0 0 −1 0  1 1/2 1/3 A6 = 1/2 1/3 1/4 1/3 1/4 1/5 



14.

Soit A une matrice (n,n) telle que A2 = A et A = I. Montrer que A n’est pas inversible.

Trouver toutes les matrices (2,2) autres que I et O, telles que A2 = A. Que peut-on dire de leurs lignes et de leurs colonnes ? a b une...
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