MATRICES
Rang
1. Pour chacune des matrices A suivantes, d´terminer d’abord son rang rA . Trouver ensuite e une matrice B extraite de A carr´e (rA ,rA ) et de rang exactement rA . e     1 2 3 1 1 4 5 6 2 −4   2 −1 a) b) c)  7 8 9 −3 6 −4 5 0 1 0       0 1 0 1 1 −1 0 1 3 3 1 0 1 0  5 d)  e) 1 0 1 f ) −1 1 0 1 0 1 2 1 3 1 −3 −9 1 0 1 0     1 1 0 1 1 1 3 −2 2 0 g)  0 1 1 2 2 h) 0 1 −1 1 2 −1 0 1 1 3 1 2 −3 4 1       0 1 0 1 1 1 1 1 −1 1 −2 0 1 1 2 3 −1 −1 −1 0 2 2    i)  j)  k)  1  1 2 3 4 2 0 1 0 1 −1 −4 −3 0 1 1 3 4 5 −1 3 −6     1 1 1 2 1 −1 1 2 1 1 2 3 2 6 3 −3    1 1 −1 −1   m) 3 1 2 3 2 −2 l)    2 1 1 1 4 2 3 5 3 −3 −1 1 1 −2 5 4 3 11 7 −6

2. Mˆmes questions que dans e param`tres : e   a 1 1 a) 1 a 1 1 1 a  1 1 d)  0 0

l’exercice pr´c´dent, mais en discutant suivant les valeurs des e e    3 2 1 1 1 1 2 1 2  c) b + c c + a a + b 1 3 λ bc ca ab    a2 a3 a b 0 1  b a 1 0 b2 b 3    e)  2 0 1 a b  2a 3a 2b 3b2 1 0 b a 

b) a b 1 1

1

Produit
3. On donne les 4 matrices  1 −2 B=  3 −4  1 4 C= 7 0  2 5 8 1  3 6  9 0  1 0 −1 0 D =  2 −2 3 −3 . −1 2 −1 2 

A = 1, 2, 3, 4

Quels sont les produits 2 ` 2 de ces matrices qui ont un sens? Effectuer ces produits. a 4. On donne les 3 matrices   2 1 0 A = −1 0 2 3 −1 1

B=

5 2 3 −1

C=

0 −1 0 −2 0 3

.

Calculer tous les produits 2 ` 2 qui ont un sens. a 5. On donne les 3  0 1 −1 0 A= 0 0 0 0 matrices  0 0 0 0  0 −1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 B= −1 0 0 −1  0 0 . 0 1



1 0 0 0

 0 1  0 0

0 0 C= 0 −1



 0 0 1 0 −1 0  , 1 0 0 0 0 0

 1 0 et l’on rappelle que I =  0 0 V´rifier les relations : e

i) A2 = B 2 = C 2 = −I

, ii) BC = −CB = A ,

iii) CA = −AC = B

, iv) AB = −BA = C .

6.

Trouver pour tout entier positif n, la matrice  0 1 1 1 0 A=  2 0 1 1 0

An lorsque  0 1 1 0  . 0 1 1 0

7.