Les matrices
Chapitre I : Les matrices.
Exemple d’introduction :
Un étudiant veut aller manger. Il mangera soit au restaurant soit chez lui. Il veut savoir lequel des deux est le plus avantageux.
On note x le prix du restaurant et y le prix à la maison.
Dans la première semaine, il va 4 fois au restaurant et une fois chez lui donc nous avons : 4x + y = 51
Dans la seconde semaine, il va deux fois au restaurant et trois fois chez lui, nous avons : 2x + 3y = 33
4x+y=512x+3y=33
y=51-4x2x+3(51-4x)=33
x=12 eurosy=3 euros
On note A et B les matrices de ce système :
A = 4 12 3 X = xy
B = 5133
AX = B
* 4 12 3xy=5133
I) Matrices.
1) Définition.
A est une matrice de format (n ;p). A est un tableau à n lignes et p colonne, avec des éléments réels aij.
A appartient à Mnp, ensemble de matrices (n ;p).
Anp A2,2 = 4 12 3 a1,1 = 4 ; a2,1 = 2
Définition : égalité entre deux matrices A et B. A et B appartiennent à M (même format).
A = B aij = bij
2) Opérations matricielles.
a) Addition de deux matrices
A et B appartenant à M. C est la somme de A et B donc C = A + B
Exemple :
A2,3 = 4 1 02 4 -12 B2,3 = -1 2 4 0 &1,5 2
C = A + B = 3 3 42 4,5 -10
b) Multiplication d’une matrice par un réel.
Soient A appartenant à M et k appartenant à R on obtient une matrice D = k.A
D appartient à M
Exemple :
A = 2 45 6
K= 3
* D = 3A = 6 1215 18
C = 2A + 3B C = 4 1119 18
Propriété des additions : * Commutativité : A + B = B + A * Associativité : A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
Elément neutre : La matrice nulle « 0 », ne contient que des 0.
c) Produit de deux matrices
Soit A de format (n,p) et B de format (p,q), le produit de A par B est noté AB = C
C = AB appartenant à M
A = 2 34 01 1 B = 2 13 4 donc C = 28 1420 4-1 -3
3)