CHAPITRE 4 : MATRICES

1. DEFINITION
Soit f une application linéaire de Rn dans Rp ; on note (e1, e2, …, en) et (l1, l2, …, lp) les bases respectives de Rn et Rp.
La matrice M associée à f relativement aux bases de Rn et Rp est le tableau dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs f(e1), f(e2), …, f(en) dans la base (l1, l2, …, lp) de Rp.
2. NOTATION
Apn : est la matrice rectangulaire de p lignes et de n colonnes. aij : est l’élément de la matrice Apn de la ième ligne et de la jème colonne.
3. MATRICE NULLE, EGALITE, TRANSPOSITION
On appelle matrice nulle de dimension (p, n), la matrice dont tous les éléments sont nuls c’est à dire : aij = 0 (1ip, 1jn)

Deux matrices sont égales lorsqu’elles représentent, par rapport à des bases données, la même application linéaire.
L’égalité A = B équivaut donc, pour les éléments de A et B, aux relations :

A = B aij = bij (1ip, 1jn)
On appelle transposée d’une matrice A, et on note tA, la matrice dont les lignes sont les colonnes de A et les colonnes sont les lignes de A.

tApn = Bnp aij = bji

4. OPERATIONS LINEAIRES SUR LES MATRICES
4.1. Somme de deux matrices :
Soit les trois matrices de dimension (p, n) A, B et C :
A + B = C aij + bij = cij (1ip, 1jn)

4.2. Produit d’une matrice par un scalaire :
Soit les deux matrices de dimension (p, n) A, B et  un scalaire (complexe ou réel) :
A = B aij = bij (1ip, 1jn)
4.3. Conclusions
Conclusion 1 :
On peut aisément montrer que l’ensemble des matrices de dimension (p, n) muni des l’addition usuelle et le produit par un scalaire (R ou C) forme une structure d’un espace vectoriel.
Conclusion 2 :
Une base de l’espace vectoriel Mp,n est constituée des matrices Aij dont seul l’élément situé à l’intersection de la ligne i et de la colonne j est non nul, et vaut 1.
Toute matrice A se décompose d’une façon unique sous la forme A =
L’espace vectoriel en question a donc pour dimension le produit np.
Exemple