Exercices sur les int´grales g´n´ralis´es e e e e

1. Calculer les in´grales g´n´ralis´es suivantes : e e e e
∞

a)
0 ∞

dx (1 + ex )(1 + e−x ) ln x dx x2

∞

b)
0 1

e− √

√

x

1

x

dx

c)
0

ln x dx

d)
1 ∞

e)
0 ∞

ln x dx (1 + x)2

∞

f)
0 π/2

xn e−x dx

(n ∈ N)

g)
0

arctan x dx 1 + x2

h) a dx (a > 0, r > 0) x(x + r)

i)
0

cos 2xdx √ sin 2x

2. Montrer que les int´grales suivantes convergent : e
∞ π/2 √ 1 2 √ e− x +x+1 dx x ∞ −t2 ∞

a)
0

b)
−π/2

ln(1 + sin x) dx

c)
0

e

dt

d)
0

1 + sin t √ dt . 1 + t3

3. D´terminer pour quelles valeurs du couple (α, β) ∈ R2 les int´grales suivantes sont convere e gentes. (On dessinera dans le plan l’ensemble des couples (α, β) pour lesquels il y a convergence).
∞

a)
0

dx xα (1 + xβ )

∞

b)
0

ln(1 + xα ) dx xβ

∞

c)
0 ∞

(1 + t)α − tα dt . tβ

4. Etudier pour quelles valeurs de n ∈ N l’int´grale I(n) = e
1

ln x dx converge et calculer I(n) xn

dans ce cas.
∞

5. Soit I(λ) =
0

dx (1 + x2 )(1 + xλ )

. Montrer que I(λ) converge pour tout r´el λ et calculer e

cette int´grale en utilisant le changement de variable t = 1/x. e
∞

6. Soit I =
0

e−t − e−2t dt. t
∞ 2ε

a) Montrer que I est convergente. b) Pour ε > 0, ´tablir, en posant x = 2t, la relation e ε e−t − e−2t dt = t

ε

e−t dt . t

c) En d´duire la valeur de I. e π/2 7. Soit J =
0

ln sin x dx.

1

π/2

a) Montrer que J est convergente et que l’on a J =
0 π/2

ln cos x dx.

b) Montrer que 2J =
0

ln

sin 2x dx, et en d´duire la valeur de J. e 2

8. Montrer que les int´grales suivantes sont semi-convergentes : e
∞

a) π cos x √ dx x

∞

b)
−1

cos(x ) dx (poser u = x ) c) π 2

2

∞

x2 sin(x4 ) dx .
∞

9. Soit f une fonction de R dans R continue et p´riodique dont l’int´grale e e
0

f (x) dx est conver-

gente. Montrer que f est la fonction nulle.