Nombres complexes (partie 1/2)
-I- Concept, forme algébrique
a. Introduction
Pas d'affolement, ces nombres sont dit complexes car ils sont composés de deux parties distinctes, mais ne sont pas compliqués ! On a parle aussi de nombres imaginaires (ça fait plus rêver, non ?) Historiquement, on les a introduit progressivement*, en tant que notation provisoire dans un premier temps, permettant de résoudre des problèmes réels. Puis ils ont acquis un vrai statut, on les a défini de manière précise et rigoureuse, puis étudiés en tant que tels. On les utilise dans des domaines très variés dont la trigonométrie, l'électronique... * Voir http://fr.wikiversity.org/wiki/Nombre_complexe/Utilité_des_nombres_complexes pour voir comment on les a utilisé pour résoudre une équation polynomiale de degré 3 et http://www.dimensions-math.org, vidéo magnifique pour une belle interprétation géométrique. [1 p198 du manuel Indice Bordas]

b.

Définition

Théorème admis Il existe un ensemble de « nombres » contenant l'ensemble ℝ des nombres réels, tel que : • Cet ensemble contient un nombre noté i tel que i2 =−1 . • Les opérations sont notées comme dans ℝ, les règles algébriques de calcul sont identiques : priorités opératoires, distributivité de × sur +, identités remarquables, etc. • Tout élément de cet ensemble s'écrit de manière unique sous forme a+i b où a et b sont deux réels. Définitions et notations La notation z =a+i b est appelée forme algébrique du nombre complexe z. L'ensemble des (nombres) complexes est noté ℂ. Dans la suite du cours, a et b désigneront toujours deux réels... Quand b = 0, on retrouve les nombres réels. Avec a = 0, les nombres complexes écrits sous forme b i sont appelés les imaginaires purs. Le nombre réel a est appelé la partie réelle de z, notée Re (z) voire ℜ( z) . Le nombre réel b (attention, pas i b !) est appelé la partie imaginaire de z, notée Im (z) voire ℑ(z) . Propriété Dire que deux complexes sont égaux équivaut à dire qu'il ont la même