Les nombres premiers

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  • Publié le : 16 juin 2011
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Nombres premiers

Nous avons choisi ce thème car les nombres premiers sont des nombres qui ont des propriétés uniques, et également parce que c'est un sujet que l'on ne connait pas encore entièrement. En effet, de nombreuses recherches sont encore effectués actuellement sur ces nombres.

Introduction

Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseursdistincts entiers et positifs. Par opposition, un nombre non nul produit de deux nombres entiers différents de un est dit composé. Par exemple, 8=2x4 est composé alors que 11=1x11 est premier. 1 n'est pas premier par convention.
La reconnaissance des nombres premiers et des nombres composés avec leur décomposition en facteurs premiers est connue pour être des plus importantes et utiles enarithmétique. En effet, les nombres premiers sont les atomes mêmes de l'arithmétique. Ce sont les nombres indivisibles qu'il est impossible de décomposer sous la forme d'une multiplication de deux nombres plus petits. Ce sont des pierres précieuses pour les mathématiciens qui s'efforcent d'explorer depuis des siècles. Au fil des années, des mathématiciens ont mis au point des méthodes de calcul afinde trouver les listes de nombres premiers. La notion de nombre premier peut s'appliquer dans divers domaines tels que les systèmes de transmissions d'information, les générateurs de nombres pseudo-aléatoires, ainsi qu'en cryptographie.

Croix de Peter Plichta. Les nombres premiers, colorés en jaune,
ne se trouvent que sur 8 axes parmi les 24.

Ces nombres portent plusieurs propriétésspécifiques à leur nature.

-Il n'existe aucune formule algébrique capable de représenter avec précision un nombre premier.
-Il en existe une infinité.
-La factorisation d'un nombre en facteurs premiers est unique.

Historique

La notion de nombre premier a été retrouvée pour la première fois sur des os datés à plus de 20 000 ans avant notre ère, découverts par l'archéologue françaisJean de Heinzelin de Braucourt. En effet, ont été entaillés bien avant l'apparition de l'écriture, sur ces os, 4 nombres premiers, 11, 13, 17 et 19.
En outre, des tablettes d'argile du deuxième millénaire avant notre ère ont été retrouvées en Mésopotamie. Elles nous montrent la résolution de problèmes arithmétiques et attestent donc du savoir-faire mathématique de l'époque.

Notons égalementque les Egyptiens utilisaient également les nombres premiers afin d'effectuer le calcul fractionnaire. Ils disposaient d'une liste de nombres premiers très élaborée.

Mais la première trace incontestable de la présentation des nombres premiers remonte à -300 avant notre ère et est répertoriée dans les « Elements d'Euclide » où il définit les nombres premiers et prouve leur infinité. C'est aussidans ce livre qu'apparaissent pour la première fois les notions de « plus grand commun diviseur » et « plus petit commun multiple ».

3. Spécificités des nombres premiers

-Tout nombre entier est représentable de manière unique comme produit de puissances de nombres premiers. En effet, le théorème fondamental de l'arithmétique dit que les nombres premiers sont les briques deconstruction des nombres entiers

Exemple : 1200 = 2²x2²x5²x3

-Il existe une infinité de nombres premiers. En effet, Euclide prouva cette infinité et prouva également qu'ils sont espacés irrégulièrement. Sa démonstration se présente comme suit : supposons que p1,p2,p3,...,pn soit une liste finie de nombres premiers distincts. Si N désigne leur produit, les nombres premiers déjà énumérés ne peuventpas diviser N+1 ; or, tout nombre possède un facteur premier, donc il existe un nombre premier qui ne fait pas partie de la suite donnée.

-La quantité de premiers inférieurs ou égaux à n est voisine de n/log n quand n devient très grand. Une valeur approchée du nième nombre premier est n.log n.

-Les nombres sont répartis de manière très irrégulière. En effet, parfois ils sont très...
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