Les normes subordonnés

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TD de maths

Niveau:MP

2009-2010

Normes subordonn´es e
Exercice 1 : Soient E, F deux Kespaces vectoriels norm´s r´els et f : E → F une application. e e 1. On suppose que K = R et f est born´e sur la boule unit´ de E telle que : e e ∀(x, y) ∈ E 2 : f (x + y) = f (x) + f (y) Montrer que f est une application lin´aire continue sur E e 2. On suppose que f est lin´aire v´rifiant : e e (f (xn))n∈N est born´e dans F pour toute suite (xn )n∈N de E tendant vers 0 dans E. e Montrer que f est continue Exercice 2 : Soit (E, ||.||E ) et (F, ||.||F )deux K-espaces vectoriels norm´s e soit u ∈ lC (E, F ) on pose |||u||| = sup ||u(x)||F
||x|| 1

Montrer que |||u||| = inf{k

0, ∀x ∈ E, ||u(x)|F

k||x||E }

Exercice 3 : Soit (E, ||.||E ) et (F, ||.||F )deux K-espaces vectoriels norm´s telque F est complet e Soit (un ) une suite de cauchy dans lC (E, F ) muni de la norme |||.||||subordonn´e aux normes ||.||E et ||.||F e 1. Montrer que pour tout x ∈ E la suite (un (x) est convergente dans F On note pour chaque x ∈ E, u(x) = lim un (x)
n→+∞

2. V´rifier que u est une application lin´aire e e 3. Montrer que u est continue 4. Montrer que 5. Conclure Exercice 4 : Soit φ:
n→+∞

lim|||un − u||| = 0

Rn [X] → Rn [X] P (X) → P (X + n)

on munit Rn [X] de la norme||.||1 d´finie par : e
n n

∀P ∈ Rn [X]tel que P =
i=0

ai X i : ||P ||1 =
i=0

|ai |

Montrer que φ est continue et calculer sa norme subordonn´e e Exercice 5 : On note E = c∞ ([0, +∞[, R) et D l’endomorphisme de E de d´rivation : D(f ) = f . e Montrer qu’il n’existe aucune norme sur E pour laquelle Dsoit continu Exercice 6 : ∗ Soit E = {(un )n∈N∗ ∈ RN / lim un = 0} muni de la norme ||.|| :
n+∞

∀u = (un )n∈N∗ ∈ E, ||u|| = sup |un |
n∈N∗

E→R et l’application φ : (un )n∈N∗ → un 2n n=1 1 CPGE - Mohammedia
+∞

MOHAMED SAHROURDI

TD de maths

Niveau:MP

2009-2010

1. V´rifier que φ une forme lin´aire continue et calculer sa norme subordonn´e e e e 2. Montrer que |||φ||| n’est pasatteinte Exercice 7 : Soit A ∈ Mp (R). On suppose que la suite de matrices : An = I + A + A2 + · · · + An converge vers une matrice B. Montrer que I − A est inversible, et B = (I − A)−1 . Exercice 8 :On munit Mn (R) d’une norme subordonn´e||.|| , soit A, M ∈ (Mn (R))2 e 1 −1 1. Si||A|| < 1 alors In + A est inversible et ||(I + A) || 1 − ||A|| 1 2. Montrer que si A ∈ GLn (R) et ||M − A|| < alors Mest inversible ||A−1 || Exercice 9 : Soit E un evn de dimension finie et P l’ensemble des projecteurs de E. Montrer que P est ferm´ dans L(E). e Exercice 10 : Soit E = l∞ l’ensemble des suites r´elles u = (un ) born´es et F = l1 le sev des suites telles que la s´rie de e e e terme g´n´ral |un | converge. Pour u ∈ E, on pose u ∞ = sup |un | et pour u ∈ F : u 1 = |un |. e e
n n

E→E 1. Soit a ∈ Eet f : u → (an un ). (a) Montrer que f est une application lin´aire continue de E dans E et calculer sa norme. e (b) Montrer que F est stable par f et calculer la norme de f|F quand on prend la norme F →R 2. Soit a = (an ) ∈ E et l’application φa :
+∞

1

sur F .

(xn )n∈N →
n=0

xn an

(a) Montrer que φa ∈ lc (F, R) = F et calculer sa norme E→F (b) En d´duire que φ : e est uneisom´trie bijective e a → φa Exercice 11 : Soit E un R-evn et φ ∈ E ∗ . 1. Montrer que φ est continue si et seulement si F = Kerφ est ferm´ e 2. On suppose φ continue et non nul . Soit α ∈ R,on pose H = {x ∈ E/φ(x) = α} Soit x0 ∈ E. |φ(x0 ) − α| Montrer que d(x0 , H) = inf ||x0 − y|| = . y∈H |||φ||| Exercice 12 : Soit E = C([0, 1], R) muni de la norme infinie ||.||∞ et g ∈ E , on consid´re l’application eE→R ψ:
1

f → φ(f ) =
0

f (t)g(t)dt

1. Montrer que ψ est une forme lineaire continue 2. Calculer ||ψ|| la norme subordonne´ de ψ e 3. Soit K ∈ C([0, 1]2 , R) (a) Montrer que ∀x ∈ [0, 1], l’application t → K(x, t) est continue sur [0, 1] (b) Montrer que x → 0 K(x, t) dt est continue sur [0, 1] et on pose : 1 ∀f ∈ E, ∀x ∈ [0, 1] : φ(f )(x) = 0 K(x, t)f (t)dt Montrer que φ est une...