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SESSION 2001

PS1004

CONCOURS

COMMUNS

POLYlECHWIOUES

ÉPREUVE SPECIFIEE

- FILIÈRE psi

MATHÉMATIQUES
DUR& : 4 heures

1

Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous réserve des conditions définies dans la circulaire no 99-186 du 1611.99 - BOEN no42 du 2511.99.

Cette épreuve comporte deux problèmes indépendants l’un de l’autre.

PROBLÈME1

Etant donné une série convergente cuk (x), on note R, (x) = zuk (x) son reste d’ordre n, pour
k20 k=n+l

n E N et on se propose d’étudier la série c Z?,(x).
n20

PARTIE 1.1. On suppose que uk (x) = (- l)k Xk, où x E R.

1

1.1.1. Déterminer l’ensemble Z des x E R tels que la série c (- l)kxk converge et pr6ciser sa
k20

somme s (- l)knk pour x E Z.
k=O

1.1.2. En supposantque x E Z, expliciter R,(X), montrer que la série xR,(x)
n20

converge et

calculer sa somme S(x) = s R, (x) .
n=O

Tournez la page S.V.P.

-2-

1.2. On conserve les notations du 1.1 : zQ(x)= (-l)V , Zh (n)= z(-lrx’
k=n+l

pour n E N et on pose R,(n)=
-1 k+’

E(-lrxk.
k=O

On considère

par ailleurs la série C (-k

et on pose : r, = E ( ) k k21 k=n+l convergence de lasérie c r, et de calculer sa somme.
ni20

Y

+1

pour n E N. On se propose d’établir la

1.2.1. Justifier la convergence de la série ET (
k2l

-1 k+’ 1 et par suite l’existence de r, pour tout

nE N.

1.2.2. Soit (n,m) E N* avec n 5 m et ZO= [0, l[. 1.2.2.1. En remarquant que
k=n

=Z&(x)-R

m(x ) , montrer que pour tout x E ZOon a

l’inégalité : 1.2.2.2. L’entier n étantfixé, déduire en particulier de 1.2.2.1 que :

et par suite que rn =/

lo&-~(x)

k-

1.2.2.3. Retrouver ainsi la valeur (bien connue !) de ~-0. 1.2.2.4. Montrer que pour tout couple (m, x) E N x ZO on a l’inégalité :

1.2.2.5. Déduire en particulier de 1.2.2.4 que la somme 2
n=O

j l. Rn-1 (X)dr admet une limite

lorsque 111 vers + 00. tend En déduire que la série c rn converge etcalculer sa somme E G .
n20 n=O

-3-

PARTIE Une égalité sur les restes ; quelques applications. 11.1.Egalité sur les restes. Lorsque la série numérique &
k>l

II

converge, on note toujours R, = &
k=n+l

son reste d’ordre n. kuk en fonction de

Soit Cuk une série convergente ; exprimer pour n E N la différence 2Rk -2
k21 k=O k=l

netdeR,. 11.2. Application à une suite.Montrer qu’il existe deux réels a et fi tels que vers ++Y 11.3.Application à une série à termes positifs. On suppose de plus que uk 2 0 pour tout k E N*. 11.3.1.Montrer que la convergence de la série CRk entraîne la convergence de la série c kuk .
k20 k11

a n +/3 + o(l) lorsque n tend

11.3.2. On suppose que la skie ckuk est convergente. Quelle est la limite de la suite (n+l)R,
k>l

lorsque ntend vers + - ? 11.3.3. Déduire de ce qui précède que les deux séries CRk et ~kz4.t sont de même nature et
k20 kZ1

lorsqu’elles convergent comparer alors leurs sommes ERk et gkut
k=O k=l

.

11.4.Application à la série c$.
k21

On suppose maintenant que Uk(x) = $ On note toujours R,(x) = 2 $
k=n+l

pour k E N* et XE D = ] l,+-

[.

le reste d’ordre n et on pose C(X) = E $-pour x E D.
k=l

Préciser l’ensemble Dl des x E D tels que la série c Rn(x) soit convergente et exprimer,
Il20

pour x E Dl, la somme zR,(x)
n=O

àl’aidedelafonction

6.

Tournez la page S.V.P.

-4-

11.5.Application à une série entière.

on supposemaintenant que uk (x) = ak ti , où (ak) kN. désigne une suite de nombres r6els et où
x E R. On désigne par p le rayon deconvergence de cette série entière, on suppose p > 0 et on note

f( xbE akxk pour XE ]-p,p [.
k=l

11.51. Soit x E ]- p, p [ ; justifier la convergence de la série ckakxk
kL1

; en déduire que la suite

@+1)&(x) admet une limite lorsque n + +oo (et Pr&iser cette limite). 11.52. En déduire que la série CZ? n (x ) est convergente pour x E ]- p, p [ et exprimer sa somme
IlLO

z&(x)
n=O...
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