Les parfums

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Chapitre 7

Courbes paramétrées
Objectifs
• Définition d’une courbe paramétrée et du vocabulaire qui s’y rattache. Lien avec la cinématique. • Plan d’étude d’une courbe paramétrée. Étude locale au voisinage d’un point. Étude des branches infinies. • Définition et étude des courbes polaires. • Étude des coniques.

Sommaire
I) Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 1) Fonctions vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Définition d’une courbe paramétrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II) Étude locale en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Tangente en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Branches infinies . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III) Courbes paramétrées en polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Cas particulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) Plan d’étude d’une courbe polaire . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . IV) Les coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Définition monofocale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Le cas de la parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) Le cas de l’ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4) Le cas de l’hyperbole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5) Définition bifocale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6) Définition algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V) Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 8 9 11 12 13

→ → désigne un plan affine muni d’un repère [éventuellement orthonormé direct] = (O, − , − ), on ı  − → → → note P = {a− + b− / a, b ∈ } l’ensemble des vecteurs du plan.Dans tout le chapitre I désigne un ı  intervalle de (non vide et non réduit à un point).

I)
1)

Généralités
Fonctions vectorielles

MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC

http://pagesperso-orange.fr/Fradin.Patrick/

1

Généralités

Chapitre 7 : Courbes paramétrées

DÉFINITION 7.1
.y(t) . − → − → Une fonction vectorielle est une fonction f : I → P . Pour − → . t ∈ on note (x(t), y(t)) lescoordonnées de f (t) dans − → → → → → ı  la base (− , − ), on a donc f (t) = x(t)− + y(t)− . On ı  remarquera que x et y sont deux fonctions de I dans .
− → .f (t) − .→  O .

.

− .→ ı

. (t) x

Remarque : Le repère étant choisi, se donner une fonction vectorielle revient à se donner deux fonctions réelles. Si le repère est orthonormé direct, on peut utiliser la notion d’affixe complexe.DÉFINITION 7.2
− → − → − − → → Soit f : I → P une fonction vectorielle, soit ∈ P et − → soit t 0 un élément de I (ou une borne de I ), on dit que f − → admet pour limite le vecteur en t 0 lorsque : . − → − → lim f (t) − =0
t→t 0

.y(t) . b
− .→  O .

− → − → .f (t) − − →

.

. .

− → .f (t)

− → − → − → − → Notation : lim f (t) = ou f (t) −→ .
t→t 0 t→t 0

− .→ ı

. a

.(t) x

Caractérisation de la limite avec les fonctions coordonnées :
THÉORÈME

7.1



.

. −→  x(t) t→t a − → − → − → − → → → → → 0 ı  = a− + b− alors : lim f (t) = ı  Si f (t) = x(t)− + y(t)− et si ⇐⇒ .  y(t) −→ b t→t 0
t→t 0

Par analogie avec les fonctions réelles, on définit les notions de continuité puis de dérivabilité.

DÉFINITION 7.3
.

− → − → − → Soit f : I → P...
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