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Les preuves sans mots

Dans cet article publié dans Pour la Science N°244 en février 1998, Jean-Paul Delahaye tente de répondre à la question : En Mathématiques, un petit dessin vaut-il mieux qu’un long discours ?
Pour répondre à cette problématique, il va s’appuyer sur plusieurs exemples et plusieurs théorèmes mathématiques tels que la somme des nombres consécutifs, le théorème des valeurs intermédiaires, …
Tout d’abord, nous allons définir les termes. En mathématiques, les preuves sans mots sont des représentations graphiques, pouvant être accompagnées d’équations, permettant de « démontrer » ou du moins comprendre un théorème.
Jean-Paul Delahaye débute son article en nous précisant qu’autrefois les dessins étaient très mal vus en mathématiques et ne consistaient en rien à une preuve. Ainsi des livres mathématiques de près de 500 pages pouvaient contenir uniquement du texte. Même pour des ouvrages géométriques. L’un des principaux arguments était qu’un dessin ne peut être quelconque et ainsi fausse le raisonnement et le résultat attendu.
Mais il s’avère qu’une représentation graphique permet de faciliter la compréhension et l’assimilation des notions notamment chez les jeunes.
C’est pourquoi, aux Etats-Unis, un jeu étrange s’est développé, les démonstrations sans mots. Un ouvrages démontrant de nombreux théorèmes a d’ailleurs été publié et est compréhensible par tous, ne possédant aucun mot mais uniquement des illustrations. C’est alors que sont nées les preuves sans mots. L’auteur nous rappelle que certaines figures peuvent être assez complexes. Malgré cela, Jean Paul Delahaye nous indique qu’il est moins long de démontrer par un schéma que par une démonstration écrite. Il nous montre l’exemple d’une démonstration par récurrence qui demande plusieurs étapes précises.
En revanche, il exploite le fait qu’utiliser uniquement le dessin ne s’avère pas être un choix judicieux. En fait, la démonstration par récurrence proposée nous permet de