3ème – Chapitre 02

Propriété de Thalès

PROPRIETE DE THALES
1) Le théorème de Thalès
Enoncé
A, B, M sont alignés et A, C, N sont alignés. Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors
AM AN MN
.


AB AC BC
On se trouve dans l'un des trois cas suivants :
M

N
(d')

(d')

(d)

(d)
A

M
B

(d)

(d')

A

A

N
B

C

C
N

M

C

B

Utilisations
- Calculer une longueur quand on a deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles (voir exemple 1) ;
- Prouver que deux droites ne sont pas parallèles (voir exemple 2).

Exemple 1
Enoncé : On considère la figure ci-contre, où A, B et C appartiennent à la droite (d), et D et E appartiennent à la droite (d’). Les droites (BD) et (CE) sont parallèles.
On donne AB  2 cm , AD  2,8 cm , AE  7 cm et
CE  10 cm . Calculer AC et BD.

C

(d)

D
A
B
E

(d’)

Solution : Les points D, A, E sont alignés et les points B, A, C sont alignés. Les droites (BD) et (CE) sont
AB AD BD
2
2,8 BD parallèles. D’après le théorème de Thalès :
. On a alors
.




AC AE CE
AC
7
10
2,8 BD
2
2,8


7
10
AC
7
2,8  10
27
BD 
 4 cm
AC 
 5 cm
7
2,8

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3ème – Chapitre 02

Propriété de Thalès

Exemple 2
Enoncé :
On considère la figure ci-contre.
On donne OR  3 cm , OT  4 cm , RS  1,5 cm et
TU  1,8 cm . Les droites (RT) et (SU) sont-elles parallèles ?

O

T

R

U
S

OR
3
OT
4
OR OT
. On en déduit que les droites (RT) et

 0, 67 et

 0, 69 donc

OS OU
OS 4,5
OU 5,8
(SU) ne sont pas parallèles (sinon, d’après le théorème de Thalès, les deux quotients seraient égaux).
Solution :

2) Réciproque du théorème de Thalès
Enoncé
AM AN et si les points A, B, M et les points A, C, N

AB AC sont dans le même ordre, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

A, B, M sont alignés et A, C, N sont alignés. Si

On se trouve dans l'un des trois cas suivants :
M
B

B
(d')

(d)

B

N

M

(d')

A

(d)

A

A

(d)

N

M

C

C

C

(d')

N

Utilisation : Prouver que deux droites sont parallèles (voir