Corrigé du baccalauréat S Liban 3 juin 2010

E XERCICE 1 Partie A

5 points

ROC : On suppose connus les résultats : e0 = 1 et pour tous réels x et y, ex ×e y = ex+y . 1 1. Pour tout réel x, ex × e−x = ex−x = e0 = 1 donc e−x = x . e 2. Pour tout réel x, on démontre par récurrence la propriété P (n) : (ex )n = enx . – (ex )0 = 1 = e0×x . Donc P (0) est vraie. – Soit n, un entier, on démontre que la propriété se transmet de n à n + 1. On suppose que (ex )n = enx alors (ex )n+1 = (ex )n × ex = enx × ex = enx+x = e(n+1)x . – La propriété est vraie pour n = 0 et se transmet, pour tout n, de n à n + 1, donc la propriété est vraie pour tout n : pour tout entier naturel n, (ex )n = enx . Partie B On considère la suite (un ) définie pour tout entier naturel n par :
1

un =
1

1.

a. u0 + u1 =

0

Par linéarité de l’intégrale, u0 + u1 =
1

1 dx + 1 + e−x

0 1 0

e−x dx 1 + e−x
0

e−nx dx. 1 + e−x
1 1 + e−x 1 0

b. u1 =

2. Pour tout entier naturel n, et pour tout réel x, e−nx > 0 et 1 + e−x > 0 donc e−nx > 0. L’intégrale sur l’intervalle [0 ; 1] d’une fonction positive est posi1 + e−x tive donc un est positive ou nulle. 3. a. Pour tout entier naturel n, un+1 + un =
1 e−(n+1)x 1 e−(n+1)x −x 0 1+e 1 e−nx (e−x + 1)

e−x u′ e−x dx. On pose f (x) = , on remarque que f = − −x −x 1+e u 0 1+e où u(x) = 1 + e−x > 0. f a pour primitive F = − ln(u). u1 = [− ln(1 + e−x )]1 = ln(2) − ln(1 + e−1 ). 0 D’après la question 1.a., u0 = 1−u1 = 1−ln(2)+ln(1+e−1 ) = ln(e+1)−ln(2)

1 + e−x

dx =

1 dx = [x]1 = 1. 0

dx +

1 0

+ e−nx un+1 + un = dx = dx 1 + e−x 1 + e−x 0 0 1 1 1 − e−n 1 un+1 + un = e−nx dx = − e−nx = n n 0 0 b. Pour tout entier naturel n, d’après la question 2., un 0 donc un+1 0 1 − e−n 1 − e−n − un+1 donc un . or, d’après la question 3., un = n n 1 − e−n 1 − e−n 4. Pour tout entier naturel n, 0 un . Or lim = 0 (car e−n tend n→+∞ n n 1 vers 0 ainsi que ). Selon le théorème des gendarmes, la suite un converge n aussi vers zéro. E