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2011/2012

Chapitre 12 : Séries entières

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Chapitre 12 – Séries entières

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1.1

Définition et convergence
Série entière

Soit (an ) une suite de nombres complexes. Définition 1.1 — On appelle série entière de la variable complexe z de coefficients (an ) la série (de fonctions) série entière de la variable réelle x de coefficients (an ) la série (de fonctions) an xn . – Remarque – 1. Un polynôme est une série entière dont les coefficients sont nuls à partir d’un certain rang. 2. Les sommes partielles d’une série entière sont des polynômes. 3. La série entière an z n converge au moins pour z = 0 ; sa somme est alors a0 . an z n . On appelle

1.2

Lemme d’Abel
Lemme d’Abel —

Théorème 1.1 Soit n n an z une série entière et z0 un complexe non nul tel que la suite (an z0 ) soit bornée. n z 1. Pour tout complexe z : an z n = O . z0 2. Pour tout complexe z tel que |z| < |z0 |, la série numérique an z n est absolument convergente.

Démonstration — n 1. Pour tout z ∈ C : |an z n | = |an z0 |

z z0

n

=O z z0 n z z0

n

. |an z n | converge également : la série an z n

2. Si |z| < |z0 |, la série géométrique est absolument convergente.

converge, donc la série

1.3

Rayon de convergence an z n une série entière. L’ensemble des réels positifs r tels que la suite (an rn ) soit bornée est un intervalle

Soit

contenant 0. Définition 1.2 — On appelle rayon de convergence de la série entière an z n la borne supérieure (dans R) de cet intervalle :

R = sup{r ∈ R+ , (an rn ) bornée}.

• Si R = 0, quel que soit z non nul, (an z n ) n’est pas bornée : la série converge que pour z = 0. Exemple 1.1 –

an z n est grossièrement divergente. Elle ne

nn z n est grossièrement divergente pour tout z ∈ C∗ .

• Si R = +∞ : la suite (an rn ) est bornée pour tout r ∈ R+ . Pour tout complexe z, il existe r ∈ R+ tel que |z| < r : la série an z n est absolument convergente pour tout z ∈ C. Exemple 1.2 – bornée. zn zn est absolument