Méthodes sur les suites numériques
A / Calculer un terme d'une suite numérique
Si la suite est définie de manière explicite un=f (n) , c'est un calcul d'image, on remplace n par l'indice du terme souhaité.
Exemple : (un) est définie pour n∈ℕ par un=2 n3+5 , on a u4=2×43+5=133 .
Si la suite est définie par une relation de récurrence un+1=f (un) , il faut calculer tous les termes jusqu'à celui souhaité. En effet, la relation de récurrence permet de calculer un terme en fonction du précédent. Exemple : (un) est définie par { u0=1 un+1=2un+3 , et on veut calculer u3 :
La relation de récurrence permettant de calculer un terme en fonction du précédent, on peut calculer u1 puisqu'on connait u0 . Ensuite, avec u1 , on pourra calculer u2 . Et avec u2 , calculer u3 .
• Avec la relation de récurrence un+1=2un+3 , pour calculer u1 , il faut remplacer n par 0 dans la relation (puisque l'indice n+1 doit être égal à 1) : u1=2 u0+3=2×1+3=5 .
• Avec la relation de récurrence un+1=2un+3 , pour calculer u2 , il faut remplacer n par 1 dans la relation (puisque l'indice n+1 doit être égal à 2) : u2=2 u1+3=2×5+3=13 .
• Avec la relation de récurrence un+1=2un+3 , pour calculer u3 , il faut remplacer n par 1 dans la relation : u3=2u2+3=2×13+3=29 .
B/ Déterminer le sens de variation d'une suite numérique
Il s'agit de déterminer si une suite est (strictement) (dé)croissante. Cependant, on résume la situation par une phrase, et non un tableau de variations comme on l'aurait fait pour une fonction.
Si la suite est définie de manière explicite un=f (n) , c'est une étude de fonction, on remplace, on étudie donc la fonction f sur [0+∞[ (en général). f et (un) ont le même sens de variations.On peut par exemple calculer la dérivée, et étudier son signe sur [0+∞[ .
Exemple : (un) est définie pour n∈ℕ par un=2n3+n+5 .
Pour n∈ℕ , un=f (n) où f est la fonction définie sur [0+∞[ par f (x)=2 x3+x+5 (on remplace n par x ) f est dérivable sur [0+∞[ comme somme de fonctions