Chapitre I : Limite de suites et de fonctions
1

Limite de suites

1.1

limite infinie

Définition :
1. Soit (un ) une suite de nombres réels. On dit que la suite (un ) tend vers +∞ ou encore qu’elle diverge vers +∞ si et seulement si tout intervalle ]λ; +∞[ (λ ∈ R) contient tous les termes de la suite (un ) à partir d’un certain rang n0 .
On note alors lim un = +∞. n→+∞ 2. Soit (un ) une suite de nombres réels. On dit que la suite (un ) tend vers −∞ ou encore qu’elle diverge vers −∞ si et seulement si la suite (−un ) tend vers +∞.
On note alors lim un = −∞. n→+∞ Remarque : Dire qu’une suite a pour limite +∞ signifie que tout intervalle de la forme ]a; +∞[ contient tous les termes de la suite sauf peut-être un nombre fini.
Exemples :
– la suite (nk ), k ∈ N∗ , tend vers +∞.
√
– la suite (− n) tend vers −∞.

1.2

limite finie

Définition :Soit (un ) une suite de nombres réels et l un nombre réel.
La suite (un ) converge vers l si et seulement si tout intervalle ouvert contenant l contient aussi tous les termes de la suite (un ) à partir d’un certain rang n0 .
Dans ce cas, on dit que la suite (un ) est convergente et on note lim un = l. n→+∞ Remarque : Dire qu’une suite converge vers un nombre l revient à dire que tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite sauf un nombre fini d’entre-eux.
1
2
=0
• lim 2 + √ = 2 lim Exemples : • n→+∞ 3 + n n→+∞ n
Contre-exemple : La suite (un ) de terme général un = (−1)n n’a pas de limite : c’est une suite alternée qui prend les valeurs 1 et -1.
Théorème : La suite (un ) converge vers 0 si et seulement si (|un |)converge vers 0.
Démonstration : Si (un ) converge vers 0, alors pour tout α > 0 l’intervalle ] − α; α[ contient tous les termes de la suite (un ) à partir d’un rang n0 . Donc pour n > n0 , |un | < α, et |un | est aussi dans l’intervalle ] − α; α[ à partir du même rang.
Il en résulte que la suite (|un |) converge vers 0.
Réciproquement : Si ]β1