Les vecteurs

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Activités géométriques 3
Vecteurs et repères
I. Vecteurs
A. Définition
1. Représentation d'un vecteur

Une unité de longueur étant choisie dans le plan, un vecteur u est défini par sadirection


(la droite (AB)), son sens (de A vers B) et sa longueur "norme de u " notée u (distance
AB).

2. Egalité de deux vecteurs
Deux vecteurs égaux ont même direction, même sens et même norme :→ →


u = v ⇔ u = v .
Deux vecteurs de sens contraires ont même direction et même norme :




u = − v ⇔ u = v .
−→ −→
−→ −→
Soient deux vecteurs égaux AB et CD alors AB = CD si etseulement si ABDC est un parallélogramme.

B. Addition de deux vecteurs
1. Relation de Chasles
−→ −→ −→
AB + BC = AC

2. Règle du parallélogramme
−→ −→ −→
AB + AD = AC.
[AC] est la diagonaledu parallélogramme ABCD.
−→ −→
Cas de deux vecteurs AB et BC de même direction

−→ −→ −→
AB + BC = AC

−→ −→ −→
AB + BC = AC

3. Propriétés de l'addition vectorielle
→ → →
u + 0 = u
→ →→

u − v = u + J−vN
→ → → →
u + v = v + u
→ → ø → → Ø
J u + vN + Ø
w = u + Jv + øwN

C. Multiplication par un nombre
1. Vecteurs colinéaires
→ →
→ →
On dit que les vecteurs u et v sontcolinéaires s'il existe un réel k tel que v = k u .
→ →



u et v ont même direction, même sens si k > 0, sens opposé si k < 0 et on a v = k u = k . u

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Vecteurs et repères -Activités géométriques 3

2. Propriétés
→ →
Soient les vecteurs u et v et les réels a et b on a :
→ →
→ →
a J u + vN = a u + a v

→ →
(a + b ) u = a u + b u


aJbuN = ab u

Trois points A, Bet C sont alignés si et seulement si
−→ −→
les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
Soient les points A et B et un réel k, les points M
−−
→ −→
tels que AM = kAB sont les points de la droite(AB).
Deux droites (AB) et (MN) sont parallèles si et
−→ −−→
seulement si AB et M N sont colinéaires.

→ →
→ →
Si k u = 0 alors k = 0 ou u = 0

3. Applications
Milieu d'un segment
→ →
→ →...