Limites des suites et des fonctions
Professor: Termeh Kousha
MAT 1739 C - Automne 2015

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1

2

Limites

Ex: Considrez la fonction suivante f (x) =

|x2 − 1|
.
x−1

a) Quel est le domaine de f ?

b) Losrsque x s’approche de 1 par la gauche (x < 1), trouvez la valuer de f ?

c) Losrsque x s’approche de 1 par la droite (x > 1), trouvez la valuer de f ?

1 LIMITES

1.1

3

La d´ efinition d’une limite

D´ efinition 1. Si f (x) devient arbitrairement pr`es du nombre L comme x approche c de la gauche et de la droite, alors on ´ecrit lim f (x) = L

x→c

et on dit que “la limite de f (x) comme x approche c est L.”
Notez que dans la d´efinition ci-dessus c pourrait ˆetre :
• un nombre r´eel fixe
• −∞
• ∞
Intuition :

lim f (x) = 3

x→∞

1 LIMITES

4

Les limites de droite et de gauche :

• lim− f (x) = L → limite de gauche. x→c • lim+ f (x) = L → limite de droite. x→c Dans ces cas tu approches la valeur seulement d’un cˆot´e.
Exemple 1. Supposez f (x) admet le graphe suivant :

Notez les cercles ferm´es et les cercles ouverts. Dans ce cas, ils indiquent que la valeur de f `a 2 est 5. Ici,

lim f (x) = 10,

x→2+

lim f (x) = 5

x→2−

Th´ eor` eme 1. Si la limite de gauche et la limite de droite existent et sont toutes les deux ´egales `a L, alors lim f (x) = L x→c Si elles existent toutes les deux mais qu’elles ne sont pas ´egales, alors la limite n’existe pas.

Alors dans l’exemple pr´ec´edent, lim f (x) n’existe pas. x→2 1 LIMITES

5

Exemple 2. Supposez f (x) admet le graphe suivant :

Ici, lim + f (x) = −1 et lim − f (x) = −1. Pourquoi ? x→−3 x→−3

Alors, nous avons lim f (x) = −1. (Mˆeme si f (−3) = 2!) x→−3 Fr´equemment, c’est le cas que lim f (x) = f (c). x→c En d’autres mots, pour calculer la limite, on peut ´evaluer la fonction a` c.
Mais, ceci n’est pas toujours le cas, comme d´emontr´e dans l’exemple pr´ec´edent.

1.2

Plus d’exemples

Exemple 3. La limite d’une fonction constante : lim 5 = 5

x→153

Ici le 5 sur le cˆot´e gauche indique la