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Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL

D. Mouchiroud (10/10/2002)

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Chapitre 1

Analyse combinatoire
Sommaire 1. Introduction …………………………………………………………………………………2 2.Arrangements………………………………………………………………………………..2
2.1. Introduction……………………………………………………………………………………………..2 2.2. Arrangements avec répétitions……………………………………………………………3 2.3. Arrangements sans répétition………………………………………………………………3

3. Permutations…………………………………………………………………………………..4
3.1. Permutations sans répétition…………………………………………………………………4 3.2. Permutations avec répétitions………………………………………………………………5

4.Combinaisons…………………………………………………………………………………..5
4.1. Définition……………………………………………………………………………………………………5 4.2. Combinaison sans remise…………………………………………………………………………5 4.3. Combinaison avec remise…………………………………………………………………………7 4.4. Propriétés des combinaisons………………………………………………………………….7

4.4.1. La symétrie………………………………………………………………………………….7 4.4.2. Combinaisons composées…………………………………………………………8
4.5. Formule dubinôme de Newton…………………………………………………………....9

1

Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL

D. Mouchiroud (10/10/2002)

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1.

Introduction

L’analyse combinatoire est unebranche des mathématiques qui étudie comment compter les objets. Elle fournit des méthodes de dénombrements particulièrement utiles en théorie des probabilités. Les probabilités dites combinatoires utilisent constamment les formules de l’analyse combinatoire développées dans ce chapitre. Un exemple des applications intéressantes de cette dernière est la démonstration du développement du binôme deNewton utilisé dans le calcul des probabilités d’une loi binomiale.

2.
2.1.

Arrangements
Définition

Etant donné un ensemble E de n objets, on appelle arrangements de p objets toutes suites ordonnées de p objets pris parmi les n objets. p Le nombre d’arrangements de p objets pris parmi n est noté : n.

A

Remarque : On a nécessairement

1 ≤ p ≤ n et n, p ∈ N*

Si n < p, alorsDeux arrangements de p objets sont donc distincts s’ils diffèrent par la nature des objets qui les composent ou par leur ordre dans la suite. Exemples : (1) Une séquence d’ADN est constituée d’un enchaînement de 4 nucléotides [A (Adénine), C (Cytosine), G (Guanine) et T (Thymine)]. Il existe différents arrangements possibles de deux nucléotides ou dinucléotides avec p=2 et n=4. (2) Le nombre demots de 5 lettres (avec ou sans signification) formés avec les 26 lettres de l’alphabet correspond au nombre d’arrangements possibles avec p=5 et n=26. (3) Le tiercé dans l’ordre lors d’une course de 20 chevaux constitue un des arrangements possibles avec p=3 et n=20. Dans les exemples précédents, l’ordre des éléments dans la suite est essentiel. Ainsi pour le deuxième exemple, le mot NICHE estdifférent du mot CHIEN. Mais dans les deux premiers exemples, une base ou une lettre de l’alphabet peut se retrouver plusieurs fois alors que dans le troisième exemple, les trois chevaux à l’arrivée sont forcément différents. Il faut donc distinguer le nombre d’arrangements avec répétition et le nombre d’arrangements sans répétition (arrangements au sens strict).

p An = 0

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D. Mouchiroud (10/10/2002)

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2.2.

Arrangements avec répétitions

Lorsqu'un objet peut être observé plusieurs fois dans un arrangement, le nombre...
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