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T RIGONOMÉTRIE
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Congruence
Définition 1.1 Congruence
Soient a, b et m trois réels. On dit que a et b sont congrus modulo m s’il existe k ∈ Z tel que a = b + km.
On note alors a ≡ b[m].
Remarque. En pratique, on a souvent m = rπ avec r ∈ Q.
Exemple 1.1
3π
2

≡

π
2 [π].

Proposition 1.1 Propriétés de la congruence
Réflexivité Soit a ∈ R. Alors a ≡ a[m].
Symétrie Soit (a, b, m) ∈ R3 . Alors a ≡ b[m] ⇐⇒ b ≡ a[m].
Transitivité Soit (a, b, c, m) ∈ R4 . Si a ≡ b[m] et b ≡ c[m], alors a ≡ c[m].
Somme Soit (a, b, c, d, m) ∈ R5 . Si a ≡ b[m] et c ≡ d[m], alors a + c ≡ b + d[m].
Multiplication/division Soient (a, b, m) ∈ R3 et k ∈ R∗ . Alors a ≡ b[m] ⇐⇒ ka ≡ kb[km].
Projection Soient (a, b, m) ∈ R3 et k ∈ N∗ . Si a ≡ b[km], alors a ≡ b[m].

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Attention ! Si a ≡ b[m] et c ≡ d[m], on n’a pas nécessairement ac ≡ bd[m].
Exemple 1.2
Si a ≡ b[2π], alors a ≡ b[π] mais la réciproque est fausse.
Exercice 1.1

251π
≡ α[2π].
4
37π
− 3 ≡ β[π].

1. Déterminer un réel α ∈] − π, π] tel que
2. Déterminer un réel β ∈ [0, π[ tel que

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Fonctions trigonométriques
Définition 2.1 Cercle trigonométrique et fonctions trigonométriques


M

sin α
On suppose le plan euclidien muni d’un repère orthonormé
(O, ı, ).
On appelle cercle trigonométrique le cercle C de centre O et de rayon 1.
Pour α ∈ R, on note (cos α, sin α) les cordonnées de l’unique point
# –
M de C tel que (ı, OM) ≡ α[2π].

Proposition 2.1 Périodicité
Les fonctions sin et cos sont 2π-périodiques :
∀(α, k) ∈ R × Z,

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cos(α + 2kπ) = cos(α) sin(α + 2kπ) = sin(α)

2

α
O

cos α

ı

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Proposition 2.2 Symétries

sin α π−α α α+π cos(−α) = cos(α) cos α

− cos α
−α

sin(−α) = − sin(α)

cos(α + π) = − cos(α)

sin(α + π)