LYCEE PILOTE DE SOUSSE LE 6 / 2 / 2008

Devoir de contrôle N°2 MATHEMATIQUES

CLASSE : 4Math1 DUREE : 2 heures

EXERCICE 1 (8 points )

    On donne dans le plan orienté P un triangle ABC rectangle en A et tel que  BC, BA     2  6 On désigne par I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [AC]. 1/ Soit S la similitude directe qui envoie A sur B et C sur A. a) Déterminer le rapport et l’angle de S. Prouver que le centre de S est le projeté orthogonal H de A sur (BC). b) La parallèle à (AC) menée de B coupe (JH) en D. Déterminer S ( J ) et montrer que S ( I )  D. 2/ Soient M un point du segment [AC], L le point d’intersection de (AB) et de la parallèle à (BC) menée de M et N le symétrique de L par rapport à I. a) Montrer que lorsque M varie, le cercle de diamètre [MN] passe par un point fixe autre que A que l’on précisera. b) Soit K le milieu de [MN]. Déterminer l’ensemble des point K lorsque M décrit le segment [AC]. 3/ Soit g la similitude indirecte qui envoie J sur I et H sur B. a) Déterminer le rapport de g , en déduire qu’elle admet un centre  b) Déterminer S1  g  J  et S1  g  H  puis caractériser la transformation S1  g c) Déterminer les images par g des droites (AB) et (JH) . Construire alors le point  et l’axe  de g. EXERCICE 2 (5 points ) Soit f la fonction définie sur  1, 0 par : f  x   1  1  x  1  1  x

1/ Montrer que f réalise une bijection de  1, 0 sur



2, 2 

2/ Soit g la bijection réciproque de f, monter que pour tout x   2, 2 , g  x    1  x 2  2  4 3/ Soit F une primitive de f sur  1, 0 .Montrer que la fonction H  F  g est une primitive sur de la fonction h : x  x g  x  .
2



2, 2 

4/ Soit l’intégrale I   f  x  dx
1

0

a) Montrer que I  

2 2

x g  x  dx , en déduire que I  2   g  x  dx
2

2

b) Calculer la valeur de I. EXERCICE 3 (7 points ) n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 cos n x Soit f n la fonction définie