Lil wayne

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´ UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYON 1 Cours: O. Kravchenko Institut Camille Jordan Travaux dirig´s: T. Altınel, T. Eisenk¨lbl & S. Richard e o

Math IV, analyse (L2) – Fiche 5
31 mars 2008 Exercice 1 (Extr´ma). e 2 → R la fonction d´finie par f (x, y) = 2x3 + 6xy − 3y 2 + 2 pour tout (x, y) ∈ R2 . Soit f : R e 1. D´terminer les extr´ma relatifs (locaux) de la fonction f . e e 2. La fonction fposs`de-t-elle des extr´ma absolus sur R2 ? e e 3. Repr´senter le segment de droite L d´fini par e e L = {(x, y) ∈ R2 | −2 ≤ x ≤ 0, y = x + 1} et d´terminer les extr´ma absolus de la restriction de f ` L en pr´cisant en quels points de e e a e L ils sont atteints. R´ponse : On commence par d´terminer les points stationnaires qui forment la liste des points e e candidats en lesquels la fonction f peutadmettre des extrema locaux. Pour ce faire, il faut r´soudre e le syst`me d’equation e ∂f ∂x (x, y) = 0 ∂f ∂y (x, y) = 0 f ´tant de classe C 2 (R2 ), les calculs des d´riv´es partielles peuvent ˆtre faits et l’on obtient e e e e ∂f (x, y) = 6(x2 + y) ∂x ∂f (x, y) = 6(x − y) . ∂y

Il en d´coule que les deux points stationnaires sont (0, 0) et (−1, −1). e La deuxi`me ´tape dans la d´termination desextrema locaux fait intervenir la matrice hessienne, e e e en d’autres termes les d´riv´es secondes. La m´thode, quoique majoritairement appliqu´e dans R2 e e e e p avec p ∈ N∗ . Vous l’avez d´j` maitris´e dans le cas des dans ce cours, est valable pour tout R ea e fonctions ` une seule variable. En effet, quand p = 1, les points stationnaires sont exactement ceux a o` la d´riv´e premi`res’annule. Pour v´rifier s’il s’agit d’un extremum, la m´thode correspondant u e e e e e a ` ce que nous avons entrepris dans R2 est d’´tudier la d´riv´e seconde. Si celle-ci est strictement e e e positive, alors il s’agit d’un minimum local, tandis que dans le cas contraire, c’est un maximum local. Quand la d´riv´e seconde s’annule, le test est inconclusif. Il peut s’agir d’un point d’inflexion, e e d’unextremum ou la fonction peut ˆtre constante au voisinage du point donn´. e e Plus g´n´ralement, on calcule toutes les d´riv´es secondes par rapport ` toutes les variables en e e e e a consid´rant toutes les combinaisons possibles de celles-ci. On construit la matrice hessienne ` partir e a de l’evaluation de ces expressions au point stationnaire fix´. C’est une matrice sym´trique qui en e e faitcorrespond ` une forme quadratique. D’apr`s les r´sultats sur les matrices sym´triques que vous a e e e ´tudiez en Math IV alg`bre, une telle matrice est diagonalisable avec des valeurs propres r´elles. Si e e e ces valeurs propres sont toutes strictement positives alors il s’agit d’un minimum local. Si elles sont toutes strictement n´gatives, alors le point stationnaire fix´ fournit un maximum. Si lesvaleurs e e propres sont non nulles mais de signe mixte, alors il s’agit d’un point selle. En d’autres termes, si le graphe de l’application est coup´ le long des sous-espaces propres correspondant aux valeurs e positives, alors on obtient des minima locaux au point consid´r´, s’il est coup´ le long des sousee e espaces propres correspondant aux valeurs n´gatives, on obtient des maxima locaux. Enparticulier, e

l’application n’admet pas d’extrema en ce point. Finalement, si la matrice hessienne a des valeurs propres nulles, alors il faut ´tudier l’application avec des m´thodes particuli`res. Pour ce dernier e e e cas, ´tudiez comme entraˆ e ınement les applications f (x, y) = x2 + y et f (x, y) = x3 + y au voisinage du point (0, 0). Dans notre exercice, les d´riv´es secondes sont lessuivantes : e e ∂2f (x, y) = 12x ∂x2 ∂2f (x, y) = −6 ∂y 2 ∂2f (x, y) = 6 ∂x∂y Les matrices hessiennes pour (0, 0) et (−1, −1) sont respectivement les suivantes : 0 6 6 −6 −12 6 6 −6 En g´n´ral les valeurs propres sont d´termin´es en calculant le polynˆme caract´ristique mais dans e e e e o e R2 , ce calcul n’est pas n´cessaire pour d´terminer leurs signes. En effet, le d´terminant de la matrice e...
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