´ UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYON 1 Cours: O. Kravchenko Institut Camille Jordan Travaux dirig´s: T. Altınel, T. Eisenk¨lbl & S. Richard e o

Math IV, analyse (L2) – Fiche 5
31 mars 2008 Exercice 1 (Extr´ma). e 2 → R la fonction d´finie par f (x, y) = 2x3 + 6xy − 3y 2 + 2 pour tout (x, y) ∈ R2 . Soit f : R e 1. D´terminer les extr´ma relatifs (locaux) de la fonction f . e e 2. La fonction f poss`de-t-elle des extr´ma absolus sur R2 ? e e 3. Repr´senter le segment de droite L d´fini par e e L = {(x, y) ∈ R2 | −2 ≤ x ≤ 0, y = x + 1} et d´terminer les extr´ma absolus de la restriction de f ` L en pr´cisant en quels points de e e a e L ils sont atteints. R´ponse : On commence par d´terminer les points stationnaires qui forment la liste des points e e candidats en lesquels la fonction f peut admettre des extrema locaux. Pour ce faire, il faut r´soudre e le syst`me d’equation e ∂f ∂x (x, y) = 0 ∂f ∂y (x, y) = 0 f ´tant de classe C 2 (R2 ), les calculs des d´riv´es partielles peuvent ˆtre faits et l’on obtient e e e e ∂f (x, y) = 6(x2 + y) ∂x ∂f (x, y) = 6(x − y) . ∂y

Il en d´coule que les deux points stationnaires sont (0, 0) et (−1, −1). e La deuxi`me ´tape dans la d´termination des extrema locaux fait intervenir la matrice hessienne, e e e en d’autres termes les d´riv´es secondes. La m´thode, quoique majoritairement appliqu´e dans R2 e e e e p avec p ∈ N∗ . Vous l’avez d´j` maitris´e dans le cas des dans ce cours, est valable pour tout R ea e fonctions ` une seule variable. En effet, quand p = 1, les points stationnaires sont exactement ceux a o` la d´riv´e premi`re s’annule. Pour v´rifier s’il s’agit d’un extremum, la m´thode correspondant u e e e e e a ` ce que nous avons entrepris dans R2 est d’´tudier la d´riv´e seconde. Si celle-ci est strictement e e e positive, alors il s’agit d’un minimum local, tandis que dans le cas contraire, c’est un maximum local. Quand la d´riv´e seconde s’annule, le test est inconclusif. Il peut s’agir d’un point d’inflexion, e e d’un