CHAPITRE

3
Exercice 1

Limites de suites et de fonctions
(page 56) Réponses a) lim f(x) = 4 . x→0 5 b) Pour tout x ≠ 0, f(x) = x – 5 et lim f(x) = – 5. x→0 1 c) lim – 2 = – ∞ donc lim f(x) = – ∞. x→0 x x→0 x d) lim e – 1 = exp’(0) = e0 = 1. x→0 x

1 Prérequis : « Vérifier les acquis »
Prérequis testés

Calculer une limite de fonction en zéro de façon intuitive.

2

Reconnaître l’existence d’une asymptote horizontale.

a) lim

x→+∞

1 = 0 donc lim f(x) = 3. x→+∞ x– 1 en + ∞.

b) La droite d’équation y = 3 est asymptote à Reconnaître l’existence d’une asymptote oblique. 3

a) lim (x + 1) = + ∞ et lim 2 = 0 donc lim f(x) = + ∞. x→+∞ x→+∞ x x→+∞ b) lim [f(x) – (x + 1)] = lim 2 = 0 x→+∞ x→+∞ x donc la droite d’équation y = x + 1 est asymptote à

en + ∞.

Reconnaître l’existence d’une asymptote verticale. 4

a) lim (ex – 1) = 0. Si x > 0, ex > 1 donc lim f (x) = + ∞. x→ 0 x>0 x→ 0 x 0, – 1 sin(x) 1 x + sin(x) 1 sin(x) 1 1 1 donc – et 1 – 1+ x x x x x x h(x) f(x) g(x). d) I = ]0,999 99 ; 1,000 01[. 1 • Pour que g(x) ∈ I, il suffit que – 0,000 01 < – < 0,000 01. x 1 < 0,000 01 soit x > 10 000. Or x > 0, il suffit donc que – x 1 • Pour que h(x) ∈ I, il suffit que – 0,000 01 < – – < 0,000 1. x 1 c’est-à-dire Or x > 0, il suffit donc que – 0,000 01 < – – x 1 0,000 01 > – soit x > 10 000. x • Pour x > 10 000, g(x) ∈ I, h(x) ∈ I et h(x) f (x) g(x) donc f(x) ∈ I. e) Pour tout réel α > 0, I = ]1 – α ; 1 + α[. 1 • Pour que g(x) ∈ I, il suffit que – α < – < α . x 1 1 Or α > 0, x > 0 il suffit donc que – < α soit x > –. x α 1 < α. • Pour que h(x) ∈ I, il suffit que – α < – – x 1 1 Or α > 0, x > 0 donc il suffit que – α < – – soit x > –. x α 1 • Pour x > – , g(x) ∈ I, h(x) ∈ I et h(x) f (x) g(x) donc α f(x) ∈ I. f) On vient de démontrer le théorème « des gendarmes » pour les fonctions.

b) Avec u0 = 1, il semble que lim un = – ∞. n→+∞ Avec u0 = 6, il semble que lim un = + ∞. n→+∞ 2. a) Pour tout entier n, vn+1 = un+1 – 3
= 2un – 3 – 3 =