Limites de fonctions

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CHAPITRE

3
Exercice 1

Limites de suites et de fonctions
(page 56) Réponses a) lim f(x) = 4 . x→0 5 b) Pour tout x ≠ 0, f(x) = x – 5 et lim f(x) = – 5. x→0 1 c) lim – 2 = – ∞ donc lim f(x) = – ∞. x→0 x x→0
x d) lim e – 1 = exp’(0) = e0 = 1. x→0 x

1 Prérequis : « Vérifier les acquis »
Prérequis testés

Calculer une limite de fonction en zéro de façon intuitive.

2

Reconnaîtrel’existence d’une asymptote horizontale.

a) lim

x→+∞

1 = 0 donc lim f(x) = 3. x→+∞ x– 1 en + ∞.

b) La droite d’équation y = 3 est asymptote à Reconnaître l’existence d’une asymptote oblique. 3

a) lim (x + 1) = + ∞ et lim 2 = 0 donc lim f(x) = + ∞. x→+∞ x→+∞ x x→+∞ b) lim [f(x) – (x + 1)] = lim 2 = 0 x→+∞ x→+∞ x donc la droite d’équation y = x + 1 est asymptote à

en + ∞.Reconnaître l’existence d’une asymptote verticale. 4

a) lim (ex – 1) = 0. Si x > 0, ex > 1 donc lim f (x) = + ∞.
x→ 0 x>0 x→ 0 x 0, – 1 sin(x) 1 x + sin(x) 1 sin(x) 1 1 1 donc – et 1 – 1+ x x x x x x h(x) f(x) g(x). d) I = ]0,999 99 ; 1,000 01[. 1 • Pour que g(x) ∈ I, il suffit que – 0,000 01 < – < 0,000 01. x 1 < 0,000 01 soit x > 10 000. Or x > 0, il suffit donc que – x 1 • Pour que h(x) ∈ I, il suffitque – 0,000 01 < – – < 0,000 1. x 1 c’est-à-dire Or x > 0, il suffit donc que – 0,000 01 < – – x 1 0,000 01 > – soit x > 10 000. x • Pour x > 10 000, g(x) ∈ I, h(x) ∈ I et h(x) f (x) g(x) donc f(x) ∈ I. e) Pour tout réel α > 0, I = ]1 – α ; 1 + α[. 1 • Pour que g(x) ∈ I, il suffit que – α < – < α . x 1 1 Or α > 0, x > 0 il suffit donc que – < α soit x > –. x α 1 < α. • Pour que h(x) ∈ I, ilsuffit que – α < – – x 1 1 Or α > 0, x > 0 donc il suffit que – α < – – soit x > –. x α 1 • Pour x > – , g(x) ∈ I, h(x) ∈ I et h(x) f (x) g(x) donc α f(x) ∈ I. f) On vient de démontrer le théorème « des gendarmes » pour les fonctions.

b) Avec u0 = 1, il semble que lim un = – ∞.
n→+∞

Avec u0 = 6, il semble que lim un = + ∞.
n→+∞

2. a) Pour tout entier n, vn+1 = un+1 – 3
= 2un – 3 – 3 = 2vn.Donc la suite v est géométrique de raison q = 2. b) v0 = u0 – 3 vn = v0qn = (u0 – 3) × 2n. c) lim 2n = + ∞ car 2 > 1.
n→+∞

3.3 Limites et composées
1. a) Pour tout réel x > – 1.
g[f(x)] = g 4x + 5 = 4x + 5 . x+1 x+1 b) Il semble que lim g f(x) = 2.
x→+∞

• Si u0 > 3, alors u0 – 3 > 0 et lim vn = + ∞.
n→+∞ n→+∞

9

• Si u0 < 3, alors u0 – 3 < 0 et lim vn = – ∞. • Si u0 = 3, pour toutn, vn = 0 et la suite v est constante égale à 0. On a, pour tout n, un = vn + 3 donc • si u0 > 3, lim un = + ∞ ;
n→+∞ n→+∞

c) f est une fonction rationnelle.
x→+∞

lim 4x = 4 donc lim f(x) = 4. x→+∞ x b = 4 et lim g(x) = 14 = 2.
x→4 x→+∞ x→4
1

• si u0 < 3, lim un = – ∞ ; • si u0 = 3, la suite u est constante égale à 3. d) Les résultats sont cohérents avec les conjectures énoncées. 3.c) Dans tous les cas, la suite w converge vers 2.

On observe que lim g f(x) = lim g(x).

2. a) Pour tout réel x < 0, g[f(x)] = g 1 = e x .
b) Il semble que lim g f(x) = 1.
x→–∞

x

4.2 Apprendre à lever une indétermination
A. Notions utilisées
• Reconnaissance d’une forme indéterminée. • Différentes écritures d’une même expression. • Opérations et limites. Chapitre 3 - Limites desuites et de fonctions 27 I

c) lim f(x) = 0,
x→–∞

b = 0 et lim g(x) = e0 = 1.
x→0 x→–∞ x→0 x→a

On observe que lim g f(x) = lim g(x).

3. On peut conjecturer que lim g f(x) = c.

• Multiplication par l’expression conjuguée. • Limite d’une composée. • Utilisation du taux de variation et de la définition du nombre dérivé.

3. a) lim (x2 – 5x + 6) = 0 et lim (x – 2) (2x – 1) = 0.
x →2 x→2

B. Corrigé 1. A) a) lim x = + ∞, lim 21x = + ∞.
x→+∞ x→+∞

Directement on aboutit à une forme indéterminée du type « + ∞ – ∞ ». b) Pour x > 0, x 1 – 2 = x – 21x = f(x). 1x c) lim 2 = 0 donc lim 1 – 2 = 1, x→+∞ 1x x→+∞ 1x
x→+∞

Directement on aboutit à une forme indéterminée du type « 0 ». 0 b) On factorise x2 – 5x + 6 par x – 2 : x2 – 5x + 6 = (x – 2) (x – 3). Pour tout x ∈ D, (x...
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