Limites

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- CHAPITRE 1 ´ LIMITE D’UNE FONCTION D’UNE VARIABLE REELLE Table des mati`res e
1 Notion de limite et interpr´tation e 1.1 Rappel . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Limites en a (a ∈ R) . . . . . . . 1.3 Limites en l’infini . . . . . . . . . 1.4 Limite ` gauche - limite ` droite a a graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 3 6 7 7 8 9 9 9 11 12

2 Propri´t´s des limites e e 2.1 Op´rations alg´briques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 2.2 Relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 2.3 Composition de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Formes ind´termin´es e e 3.1 Deux cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 3.2 Exemples de formes ind´termin´es du type “ ” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 0 3.3 Autres exemples de formes ind´termin´es . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e

1

Dans ce chapitre, nous aborderons les limites de mani`re intuitive... e Cela ne nous permettra pas de d´montrer les r´sultats ´nonc´s. e e e e f d´signe une fonction de R dans R dont l’ensemble de d´finition sera not´e Df . e e e On appelle droite r´elle achev´e, on note R, l’ensemble R ∪ {−∞; +∞}. e e

1
1.1

Notion de limite etinterpr´tation graphique e
Rappel

p d´signe un entier naturel e p 1 2 3 ... 6 ... p 10 10 100 1 000 . . . 1 000 000 . . . 10−p 0, 1 0, 01 0, 001 . . . 0, 000 001 . . . Plus p est grand, plus 10p est grand, plus p est grand, plus 10−p est proche de 0.

1.2

Soit a ∈ R, on veut savoir comment se comporte f (x) quand x se rapproche de a. Pour cela, il faut que la fonction f soit d´finie au voisinage de a,c’est ` dire sur un intervalle ouvert e a du type ]a − α, a + α[ avec α > 0, sauf peut-ˆtre en a. e a) limite finie en a ∈ R.

Limites en a (a ∈ R)

Soit f une fonction f d´finie au voisinage de a, sauf peut-ˆtre en a et e e

D´finition 1 On dit que f tend vers quand x tend vers a si on peut rendre |f (x) − | “aussi petit que e l’on veut” ` condition de prendre x “ suffisamment proche de a”. aAutrement dit : Pour tout p ∈ N, on a |f (x) − | < 10−p avec x “ suffisamment proche de a”. NOTATION : On ´crira alors lim f (x) = e
x→a

ou encore f (x) −→

x→a

Exemple 1 Fonctions de r´f´rence : ee x x2 x3 ... −0, 01 −0, 0001 0 ... 0, 000 1 0, 000 000 01 0 . . . −0, 000 001 −0, 000 000 000 001 0 0, 0001 0, 01 ... 0, 000 000 01 0, 000 1 . . . 0, 000 000 000 001 0, 000 001 . . .

On constateque quand x est “proche“ de 0 alors x2 et x3 sont aussi ”proches” de 0. Ce qui nous donne l’intuition des limites suivantes :
x→0

lim x2 = 0 et lim x3 = 0
x→0

2

b) limite infinie en a D´finition 2 On dit que f tend vers +∞ quand x tend vers a si on peut rendre f (x) “aussi grand que e l’on veut” ` condition de prendre x “ suffisamment proche de a”. a Autrement dit : Pour tout p ∈ N, on a f(x) > 10p avec x “ suffisamment proche de a”. NOTATION : On ´crira alors lim f (x) = +∞ ou encore f (x) −→ +∞ e
x→a x→a

Remarque 1 f tend vers −∞ quand x tend vers a si et seulement si −f tend vers +∞ quand x tend vers a ´ INTERPRETATION GRAPHIQUE : Si lim f (x) = ±∞ alors la courbe repr´sentative de f admet une asymptote verticale d’´quation x = a. e e
x→a

Cf
a

Figure 1 – Repr´sentationd’une fonction f tendant vers −∞ en a, a ∈ R e

1.3

Limites en l’infini

On veut savoir comment se comporte f (x) quand x se rapproche de +∞ (respectivement −∞). Pour cela, il faut que la fonction f soit d´finie au voisinage de +∞ (respectivement −∞), c’est ` dire e a sur un intervalle ouvert du type ]m, +∞[ (respectivement ] − ∞, m[) avec m ∈ R. a) limite finie en l’infini Soit f une...
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